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摘要：1、函数的知识结构和基本概念；2、函数中的基本题型。
关键词：函数知识及其应用。
一、学好函数知识要掌握本章的知识结构和基本概念：
概念函数的三要素（定义域、值域、对应法则）
表示方法（列表法、解析法、图象法）
简单性质（单调性、奇偶性）
映射的概念分数指数幂。
指数函数解析式、图象。
性质。初等函数对数函数解析式、图象。
性质。对数的运算性质。
幂函数解析式、图象。
性质。函数与方程。
二、学好函数知识要掌握基本题型的解题技巧：
1、函数的概念。
例1：已知函数y=f(x)，x∈[a，b]且a=，b=，则a∩b中所含的元素的个数是（ ）a）0（b）1（c）0或1（d）0，1或2
解析：因为在函数定义域内，对每一个自变量x都有唯一确定的函数y与之相对应，故当。
1 [a，b]时，a∩b=，当1∈[a，b]时，a∩b=，含一个元素，故选c。
评注：解函数概念题，要吃透函数的概念，深刻理解函数是一种特殊的映射。
2、函数的图象。
例2：若奇函数f(x)在（0，+∞上是增函数，又f(-3)=0，则等于（ ）
评注：函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质非常方便。本题是求解抽象函数不等式，往往先画出符合题意的草图，从图象变化规律、特殊点、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等各个角度来对图象进行分析，以寻求最佳解题方案。
3、函数的定义域、值域。
例3：求函数的定义域和值域。
解：由1-2x≥0可得x≤∴所求函数的定义域为：｛x∣x≤｝
令（t≥0）则有∴（t≥0）
此二次函数对称轴为：t=-1 由函数图象可知： 故函数的值域为：｛y∣｝
评注：求函数的定义域就是求使函数有意义的x的取值范围；求函数值域的方法很多，一般要先分析函数式的结构特征，再确定较简单的求值域的方法。
4、函数的解析式。
例4：已知，求的解析式。
解法。一、令（t≥1）则∴（t≥1）
故（x≥1）
解法二、∵=1 令，则t≥1
（t≥1） 故（x≥1）
评注：求函数解析式，除了本题用到的代换法和拼凑法之外，常用的还有待定系数法。
5、函数的性质。
例5：是定义在r上的奇函数，在区间 [-a，-b]（a>b>0）上是减函数，且》0，求证：函数y=2在区间[b，a]上是增函数。
证明：任取b≤x1∵在区间 [-a，-b]（a>b>0）上是减函数， 且》0
又∵是定义在r上的奇函数。
即。幂函数y=x2在(-∞0)上为减函数 ∴
函数y=2在区间[b，a]上是增函数。
评注：此类题型，证明的主要依据是定义。首先需要把设在所证区间上的两个任意变量转化到已知函数单调性的区间上；其次再根据函数的奇偶性进行符号转化。
6、初等函数的问题。
例6：求函数的定义域和值域。
分析：求对数函数的定义域一定要注意真数大于0；考虑值域时一定要对底数进行分类讨论。
解：由得不等式组由（1）得：x(x+1)<0，则-1由（2）得：
当a.>1时，有≥即 -x2-x≥1 ∴x2+x+1≤0 ∴ 无解。
当0故：当a.>1时，x∈；当00
评注：由于指数函数、对数函数的性质都分别与它们的底数有关，所以解题时务必考虑底数情况，必要时要对底数进行讨论。
7、函数的应用。
例7：假设国家收购某种农产品的**是120元/担，其中征税标准为每100元征8元（叫做税率为8个百分点，即8％）。计划可收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点。
写出税收y（万元）与x的函数关系式。
解：在收购**没有改变的前提下，收购量由m万担增加到m（1+2x％）万担；税率由。
8％降低到（8-x）％。因此y=120m（1+2x％）（8-x）％=0评注：严谨审题，弄清已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件，是解决应用题的关键。
8、函数的综合。
例8：设平面内两向量与互相垂直，且∣∣=2，∣∣1，又k与t是两个不同时为0的实数。（1）若与垂直，求k关于t的函数关系式；
2）试确定函数k=f(t)的单调区间。
解：（1）∵与互相垂直 ∴，又∵ ∴
即（0 ∴4k=t(t2-3)，即。
2）设t1①当t11，t12>1，t22≥1，则t12+t22+ t1t2-3>0，而t1-t2<0 ，即为k=f(t)的单调增区间。同理，也为增区间。
当-1< t1∴，即为k=f(t)的单调减区间。
故：函数k=f(t)的增区间为∪，减区间为。
评注：解函数综合题要仔细审题，弄清题意，把握问题的实质，注意转化思想的运用。
总之，学习函数重点解决好以下问题：深刻理解函数的有关概念；揭示函数与其他知识的内在联系；把握数形结合的特征和方法；认识函数思想的实质，强化应用意识。
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