专题之复合函数（高一阶段）
定义。设y=f(u），u=g(x），当x在u=g(x）的定义域a中变化时，u=g(x）的值在y=f(u）的定义域b内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数(composite function)，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。
生成条件。不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φx）的值域存在非空子集zφ是y=f(μ）的定义域df的子集时，二者才可以构成一个复合函数。
定义域。若函数y=f(u）的定义域是b,u=g(x）的定义域是a,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
d= 题型。
一、已知的定义域，求的定义域。
思路：设函数的定义域为d，即，所以的作用范围为d，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，e为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为。
解：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）
又f对lnx作用，作用范围不变，所以。
解得，故函数的定义域为（1，e）
例2. 若函数，则函数的定义域为。
解：先求f的作用范围，由，知。
即f的作用范围为，又f对f(x)作用。
所以，即中x应满足。
即，解得。故函数的定义域为。
题型。二、已知的定义域，求的定义域。
思路：设的定义域为d，即，由此得，所以f的作用范围为e，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为___
解：的定义域为，即，由此得。
所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以。
即函数的定义域为。
例4. 已知，则函数的定义域为。
解：先求f的作用范围，由，知。
解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为。
题型。三、已知的定义域，求的定义域。
思路：设的定义域为d，即，由此得，的作用范围为e，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，f为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为。
解：的定义域为，即，由此得。
的作用范围为。
又f对作用，所以，解得。
即的定义域为。
周期性。设y=f(u)，的最小正周期为t1,μ=x)的最小正周期为t2,则y=f（μ）的最小正周期为t1*t2,任一周期可表示为k*t1*t2(k属于r+）
单调性。1）引理证明。
已知函数。若在区间）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间）上是增函数。
证明：在区间）内任取两个数，使。
因为在区间）上是减函数，所以，记，即。
因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以，即，故函数在区间）上是增函数。
2）复合函数单调性的判断。
复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
3）复合函数的单调性判断步骤：
确定函数的定义域；
将复合函数分解成两个简单函数：与。
分别确定分解成的两个函数的单调性；
若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。
复合函数单调性。
依y=f(u)，μx)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”，可以简化为“同增异减”
例如：讨论函数y=的单调性。
解：函数定义域为r。
令u=-4x+3,y=0.8^u。
指数函数y=在（-∞上是减函数，
u=-4x+3在（-∞2]上是减函数，在[2,+∞上是增函数，
函数y=在（-∞2]上是增函数，在[2,+∞上是减函数。
题型一讨论复合函数的单调性，求单调区间。
例1、 求函数的单调区间，并用单调性定义给予证明。
解： 由∴定义域为。
单调减区间是。用单调性定义证明下面：设则
< 又底数
在上是减函数。
同理可证：在上是增函数。
例2、讨论函数的单调性。
解：由得函数的定义域为。
则当时，若，∵为增函数，∴为增函数。
若，∵为减函数。
为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数。
题型。二、已知复合函数的单调性，求参数的取值范围。
求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。
例3、.已知y= (2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围。
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2->0是减函数。
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，a＞1
由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,1＜a＜2
当00是增函数。
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，0由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0综上所述，0例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设。问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。
解：由已知，得，其中∴即，解得。
为负整数，∴ 即，假设存在实数，使得满足条件，设，，当时，为减函数，，∴当时， 增函数，∴,由①、②可知，故存在。
复合函数的奇偶性。
解决这类问题，要透彻理解奇偶性的定义的本质，注意复合函数中的自变量是x.
例如果函数在上是增函数，且函数是偶函数，试比较、、的大小。
分析：函数是偶函数，与是偶函数完全不同，一般地，是偶函数即对于定义域内任意自变量满足，也有；是偶函数即，因而知的图象关于直线对称。
解：∵ 函数是偶函数，∴，即的图象关于直线对称，有=， 又函数在上是增函数，∴﹤即﹤﹤。
例题演练。例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明。
解：定义域。
单调减区间是设则
> 又底数
即。在上是减函数。
同理可证：在上是增函数。
例］2、讨论函数的单调性。
解］由得函数的定义域为。
则当时，若，∵为增函数，∴为增函数。
若，∵为减函数。
为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数。
例3、.已知y= (2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围。
解：∵a＞0且a≠1
当a＞1时，函数t=2->0是减函数。
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，a＞1
由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,1＜a＜2
当00是增函数。
由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，0由x［0，1］时，2-2-1＞0, ∴0综上述，0例4、已知函数（为负整数）的图象经过点，设。问是否存在实数使得在区间上是减函数，且在区间上是减函数？并证明你的结论。
解析］由已知，得，其中∴即，解得。
为负整数，∴ 即，假设存在实数，使得满足条件，设，，当时，为减函数，，∴当时， 增函数，∴,由①、②可知，故存在。
高一数学函数概念及复合函数教案
湖南师范大学附属中学高一数学教案 函数概念及复合函数。教材 函数概念及复合函数 目的 要求学生从映射的观点去理解函数的概念，明确决定函数的三个要素。过程 一 复习 提问 1 什么叫从集合到集合上的映射？2 传统 初中 的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？二 函数概念 1 重复初中时讲的函数 传统 ...
高考数学复习复合函数抽象函数函数图像函数与方程
复合函数 抽象函数 函数的图像。一 复合函数。设y f u ub u g x xa,通过变量u，得到y关于x的函数，那么称这个函数为函数y f u 和u g x 的复合函数，记作y f g x 其中y f u 叫做外函数，u g x 叫做内函数，u称为中间变量，它的取值范围是g x 的值域的子集。1...
复合反函数题型分析
复合反函数的问题是一个难点，突破此难点的方法是 充分利用互为反函数的本质特征，即与交换 充分利用互为反函数的转化关系式，即与互为反函数。下面依题型进行分类 1 求复合反函数的解析式。例1 已知，则 解由，得。又设，得，即，故。2 求复合反函数的定义域 值域。例2 已知函数的定义域为，值域为，若该函数...