复合反函数的问题是一个难点，突破此难点的方法是：①充分利用互为反函数的本质特征，即与交换；②充分利用互为反函数的转化关系式，即与互为反函数。 下面依题型进行分类**。
1 求复合反函数的解析式。
例1 已知，则 .
解由，得。又设，得，即，故。
2 求复合反函数的定义域、值域。
例2 已知函数的定义域为，值域为，若该函数存在反函数，则函数的定义域为 ，值域为 .
解由函数的值域为，得反函数的定义域为，就是函数满足，解得，故函数的定义域为。
又函数的定义域为，就是反函数的值域为，即函数的值域为。
3 求复合反函数的图象。
例3 已知函数的反函数是，则函数的图象是( )
a) y (b) y (c) y (d) y
o xo xo xo x
解取已知函数的图象上一点，则其反函数图象必过点，从而，即函数的图象必过点。 若取已知函数的图象上一点，同理可得函数的图象必过点。 故选(c).
4 求复合反函数的性质。
例4 设是定义在上的一个减函数，，那么必为( )
a)增函数且是奇函数 (b)增函数且是偶函数。
c)减函数且是奇函数 (d)减函数且是偶函数。
解设，则，即。
是定义在上的减函数，且，是上的奇函数且是减函数，即原函数是上的奇函数且是增函数。
故其反函数也是上的奇函数且是增函数，选(a).
5 求复合反函数的定点。
例5 若函数的图象经过点，则函数的反函数图象的必经过点是 .
解 ∵函数的图象经过点，∴函数的图象经过点，故函数的反函数必经过点。
注此题若求函数的图象经过点，则答案是，为什么？
6 求复合反函数的定值。
例6 设定义在上的奇函数有反函数，又与互为反函数，则( )
a)2005 (b)-2005 (c)4010 (d)-4010
解由是上的奇函数，得。
由，得。又与互为反函数，将代入(*)得，即。
故选(d).
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