反函数。
1.几何定义：．互为反函数的两个函数与在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称。
2．求反函数的步骤：
1）解关于x的方程，得到。
2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到。
3）求出并说明反函数的定义域〔即函数的值域〕
3．一些结论：定义域上的单调函数必有反函数；
奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；
定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数。
周期函数在整个定义域内不存在反函数。
5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．,
例1. （2024年北京高考）函数在区间上存在反函数的充要条件是（c）
a. b. c. d.
反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；,
例2. （2024年全国卷）函数的反函数是（ ）
a. b. c. d.
解析：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（b）。,
例3. （2024年北京春季）若为函数的反函数，则的值域为。
解析：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。,
例4. 函数的反函数是（ ）
a. 奇函数，在（）上是减函数b. 偶函数，在（）上是减函数。
c. 奇函数，在（）上是增函数d. 偶函数，在（）上是增函数。
解析： 函数与具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（c）。,
例5. 1.（2024年湖南省高考）设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在。
反函数，则。
解析：由，可知函数的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数的图象上，即有，所以。
评注：当函数存在反函数时，若，则。
2.（2024年湖南省高考）设是函数的反函数，若，则的值为（ b ）
a. 1b.2 c. 3 d. ,
例6. （2024年上海市高考）已知函数，则方程的解x
解析：当函数存在反函数时，若，则。所以只需求出的值即为中的x的值。易知，所以即为所求的值。,
1.（2024年天津市高考）设是函数的反函数，则成立时x的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
解析：由，知函数在r上为增函数，所以在r上也为增函数。
故由，有而可得故选（a）。
评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。
2.（2024年湖南省高考）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）
a. b. c. d.
分析：依题意知。画出略图，故选（a）。,
例8. （2024年福建省高考）已知函数的反函数是，则的图象是（ ）
解析：由题意知则。
所以的图象可由的图象向右平移1个单位而得到。故选（c）。
评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。
对称法是指根据原、反函数的图象关于直线对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x对称，这种函数称为自反函数。
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