（19）（本小题满分12分）福建理。
已知函数，讨论的单调性。
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解：的定义域是(0,+)设，二次方程的判别式。
1 当，即时，对一切都有，此时在上是增函数。
2 当，即时，仅对有，对其余的都有，此时在上也是增函数。
3 当，即时，方程有两个不同的实根，.
此时在上单调递增， 在是上单调递减， 在上单调递增。
21．（本小题满分14分）安徽文。
已知函数，a＞0
ⅰ）讨论的单调性；
ⅱ）设a=3，求在区间上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。
思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。
解析】(1)由于。
令。当，即时，恒成立。
在(－∞0)及(0,＋∞上都是增函数。
当，即时。由得或。
或或。又由得。
综上①当时，在上都是增函数。
当时，在上是减函数，在上都是增函数。
2)当时，由(1)知在上是减函数。
在上是增函数。
又。函数在上的值域为。
18．（本小题共13分）北京理。
设函数。ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
ⅱ）求函数的单调区间；
ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。
解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
ⅰ）,曲线在点处的切线方程为。
ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
ⅲ）由（ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，
综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是。
18．（本小题共14分）
设函数。ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；
ⅱ）求函数的单调区间与极值点。
解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．
ⅰ）,曲线在点处与直线相切，ⅱ）当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点。
当时，由，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点。
20、（本小题满分14分）
已知函数，且。
1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；
2）令，设函数在处取得极值，记点m (,n(,)p(),请仔细观察曲线在点p处的切线与线段mp的位置变化趋势，并解释以下问题：
i）若对任意的m (,x)，线段mp与曲线f(x)均有异于m,p的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
ii）若存在点q(n ,f(n)),x n< m,使得线段pq与曲线f(x)有异于p、q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程。
20.解法一：
ⅰ)依题意，得。由。从而。
令。当a>1时，
当x变化时，与的变化情况如下表：
由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为r
当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数的单调增区间为r；
当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为。
ⅱ)由得令得。
由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故m（）n（）。
观察的图象，有如下现象：
当m从-1（不含-1）变化到3时，线段mp的斜率与曲线在点p处切线的斜率之差kmp-的值由正连续变为负。
线段mp与曲线是否有异于h，p的公共点与kmp－的m正负有着密切的关联；
kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值。曲线在点处的切线斜率；
线段mp的斜率kmp
当kmp－=0时，解得。
直线mp的方程为。
令。当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段mp与曲线没有异于m，p的公共点。
当时，.所以存在使得。
即当mp与曲线有异于m,p的公共点。
综上，t的最小值为2.
2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为。
解法二：1）同解法一。
2）由得，令，得。
由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故m().n()
(ⅰ)直线mp的方程为。由。得。
线段mp与曲线有异于m,p的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根，即函数。
上有零点。因为函数为三次函数，所以至多有三个零点，两个极值点。
又。因此，在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点，即内有两不相等的实数根。
等价于即。又因为，所以m 的取值范围为(2,3)
21．（本小题满分12分）
已知函数且。
（i）试用含的代数式表示；
（ⅱ）求的单调区间。
（ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；
2019高考函数题型
1.全国卷1 20.本小题满分12分 注意 在试题卷上作答无效 已知函数。若，求的取值范围 证明 解 题设等价于。令，则。当，当时，是的最大值点，综上，的取值范围是。由 知，即。当时，当时，所以。2.全国卷2 22 本小题满分12分 设函数 证明 当时，设当时，求a的取值范围 3.新课标 21 本小...
2019高考数学 函数专题指数函数
2011高考数学精品 函数专题。第5课时指数函数。1 已知a 则化简的结果是 ab cd 解析 选c.1 4a 2 设指数函数f x ax a 0且a 1 则下列等式不正确的是 a f x y f x f yb f xy n f x n f y n c f x yd f nx f x n 解析 选b...
2019高考数学 函数专题函数与方程
cd 1 解析 选c.代入可知，只有f f 0，所以函数的零点在区间 上 6 已知函数f x 若f 0 2，f 1 1，则函数g x f x x的零点的个数为 a 1b 2 c 3d 4 解析 选c.由已知当x 0时f x x2 bx c，由待定系数得 故f x 令f x x 0，分别解之得x1 2...