1.【全国卷1】20.(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数。ⅰ）若，求的取值范围；
ⅱ）证明： .
解：（ⅰ题设等价于。
令，则。当，；当时，，是的最大值点，综上，的取值范围是。
ⅱ)由（ⅰ）知，即。
当时，；当时，所以。
2.【全国卷2】（22）（本小题满分12分）设函数．
ⅰ）证明：当时，；
ⅱ）设当时，，求a的取值范围．
3.【新课标】（21）（本小题满分12分）
设函数。1） 若，求的单调区间；
2） 若当时，求的取值范围。
21）解：1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加。
ii）由（i）知，当且仅当时等号成立。故，从而当，即时，，而，于是当时，.
由可得。从而当时，故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为。
4.【辽宁卷】（21）（本小题满分12分）
已知函数。）讨论函数的单调性；
）设。如果对任意，，求的取值范围。
5.【陕西卷】21. （本小题满分14分）
已知函数。ⅰ）若曲线与曲线相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；
ⅱ）设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；
ⅲ）对（ⅱ）中的和任意的，证明：
解：ⅰ），由已知得解得， 两条直线交点的坐标为，切线的斜率为， 切线的方程为。
ⅱ）由条件知。
ⅰ）当a>0时，令，解得， 当时，在上递减；
当时，在上递增。
是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点。
最小值。ⅱ）当时，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为。
ⅲ）由（ⅱ）知。对任意的。
故由①②③得。
6.【重庆卷】（18）（本小题满分13分，（ⅰ小问5分，（ⅱ小问8分。）
已知函数，其中实数。
（ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（ⅱ）若在处取得极值，试讨论的单调性。
18）（本题13分）
解：（ⅰ当时，，而，因此曲线在点处的切线方程为即。
由（ⅰ）知，即，解得。
此时，其定义域为，且，由得。当。
或时，；当且时，.
由以上讨论知，在区间上是增函数，在区间上是减函数。
7.【福建卷】20.（本小题满分14分）
ⅰ）已知函数f(x)=x3-x ,其图像记为曲线c.
i） 求函数f(x)的单调区间；
ii） 证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线c与其在点p1 （x1,f(x1)））处的切线交于另一点p2（x2,f(x2)），曲线c与其在点p2处的切线交于另一点p3（x3,f(x3)），线段p1 p2, p2 p3与曲线c所围成封闭图形的面积分别记为s1，s2，则为定值；
ⅱ）对于一般的三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于（ⅰ）ii）的正确命题，并予以证明。
20.本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。满分14分。
解法一：ⅰ）（i）有f(x)=x3-x得f’(x)=3x2-1=3(x-)(x+).
当x (,和(，)时，f’(x)>0;
当x (，时，f’(x)<0。
ⅱ）曲线c在点p1处的切线方程为。
y=(3x12-1)(x-x1)+x13-x1，即y=(3x12-1)x-2 x13.
由。得x3-x=(3x12-1)x-2 x13
即（x-x1）2(x+2x1)=0,解得 x=x1或x=-2x1,故x2=-2x1.
进而有。用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和s2=。
又x2=-2x10，所以s2=,因此有。
ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）的图像为曲线c’，类似于（ⅰ）ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线c’与其在点p1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点p2（x2, g(x2)）,曲线c’与其在点p2处的切线交于另一点p3（x3, g(x3)），线段p1p2、p2p3
与曲线c’所围成封闭图形的面积分别记为s1，s2，则为定值。
证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心平移至。
解法二：ⅰ）同解法一。
ⅱ）记函数g(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的图像为曲线c’，类似于（ⅰ）ii）的正确命题为：若对于任意不等于的实数x1,曲线c’与其在点p1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点p2（x2, g(x2)）,曲线c’与其在点p2处的切线交于另一点p3（x3, g(x3)），线段p1p2、p2p3
与曲线c’所围成封闭图形的面积分别记为s1，s2，则为定值。
证明如下：用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3=和。
又x2=所以。故。
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