题型1：作图。
例1．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为。
解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
答案】4点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；
例2．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ b ）
解析一：由指数函数图象可以看出0<<1。抛物线方程是y=a（x+）2－，其顶点坐标为（－，又由0<<1，可得－<－0.观察选择支，可选b。
点评：本题主要考查二次函数、指数函数的图象及性质，源于课本，考查基本知识，难度不大。本题虽小，但一定要细致观察图象，注意细微之处，获得解题灵感。
2）函数在区间内的图象是。
解：..函数。
题型2：识图。
例3．已知函数满足，且当时，，则与的图象的交点个数为。
a、2b、3c、4d、5
解析：由知函数的周期为2，作出其图象如右，当x=5时，f(x)=1,log5x=1;
当x>5时，f(x)=1∈[0，1]，log5x>1,与的图象不再有交点，故选c。
巩固]设奇函数f(x)的定义域为r，且对任意实数x满足f(x+1)= f(x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=2x-1,则f
例4．一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温。图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量。根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）
图。a．气温最高时，用电量最多 b．气温最低时，用电量最少。
c．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加。
d．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加。
解析：经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高。因此a项错误。同理可判断出b项错误。由三个月的气温和用电量可得出c项正确。
点评：该题考查对图表表达的函数的识别和理解能力，要从题目解说入手，结合图像和实际解决问题。
题型3：函数的图象变换。
例5． 设，函数．
ⅰ）若是函数的极值点，求的值；
ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．
解：（ⅰ因为是函数的极值点，所以，即，因此．
经验证，当时，是函数的极值点。
ⅱ）由题设，．
当在区间上的最大值为时，即．故得．
反之，当时，对任意，而，故在区间上的最大值为．
综上，的取值范围为．点评：借助函数图像的变换规则解决实际问题。
例6．在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的。
答案c。点评：该题是应用函数图象变换求函数解析式。由函数图像的变换的函数的性质逆向变换既可，注意函数图像的变换中平移、对称都不会改变原来函数的形状。
题型4：函数图象应用。
例7．函数与的图像如下图：则函数的图像可能是（ ）
解析：∵函数的定义域是函数与的定义域的交集，图像不经过坐标原点，故可以排除c、d。
由于当x为很小的正数时且，故。∴选a。
点评：明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系，数值相乘“同号为正、异号为负”。
例8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围。
解法一：观察f(x)的图象，可知函数f(x)的图象过原点，即f(0)=0,得d=0，又f(x)的图象过(1，0)，f(x)=a+b+c ①
又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0 ②
+②得b＜0，故b的范围是(－∞0)
解法二：如图f(0)=0有三根0，1，2，f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax3－3ax2+2ax，b=－3a，当x>2时，f(x)>0，从而有a>0，b＜0。
点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。
题型5：函数图像变换的应用。
例9．已知，方程的实根个数为（ ）
a．2b．3c．4d．2或3或4
根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数。
该题通过作图很可能选错答案为a，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个。选项为d。
点评：该题属于“数形结合”的题目。解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。
例10．设，若，且，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
解析：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。
通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，，从而，即，又，所以。选项为a。
点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。
题型6：幂函数概念及性质。
例11．函数互质）图像如图所示，则（ ）
a．均为奇数。
b．一奇一偶。
c．均为奇数。
d．一奇一偶。
解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，即为偶数，由于两个数互质，则定为奇数。答案：
选项为b。
点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解。
例12．画出函数的图象，试分析其性质。
解析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来， （这种变换是解决这类问题的关键），由此说明，是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确，即。
故图象一定过（0，－1）和两个关键点。
再观察其图象可以得到如下性质：定义域，单调区间上单调递增；既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是（3，－2）。
点评：幂函数的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能用并集号。
题型7：抽象函数问题。
例13．函数的定义域为d：且满足对于任意，有。
ⅰ）求的值；
ⅱ）判断的奇偶性并证明；
ⅲ）如果上是增函数，求x的取值范围。
ⅰ）解：令。
ⅱ）证明：令。
令。为偶函数。
上是增函数，
（1）等价于不等式组：
x的取值范围为。
点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)＝f(x1)·f(x2)找到问题的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键。
例14．设函数上满足，且在闭区间[0，7]上，只有。
ⅰ）试判断函数的奇偶性；
ⅱ）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论。
解析：（ⅰ由。
从而知函数的周期为。
又，所以。故函数是非奇非偶函数；
ii) 又。
故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有两个解，从而可知函数在[0,2005]上有402个解，在[－2005.0]上有400个解，所以函数在[－2005,2005]上有802个解。
点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性质，再来解题。
函数图像,导数图像
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