函数的图像特征

a组。1．命题甲：已知函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称．命题乙：函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．则甲、乙命题正确的是。

解析：可举实例说明如f(x)＝2x，依次作出函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图象判断．答案：甲。

2．(2023年济南市高三模拟考试)函数y＝·ax(a>1)的图象的基本形状是___

解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝，由指数函数图象易知①正确．

答案：①3．已知函数f(x)＝(x－log3x，若x0是方程f(x)＝0的解，且0解析：分别作y＝()x与y＝log3x的图象，如图可知，当0log3x1，f(x1)>0.

答案：正值。

4．(2023年高考安徽卷改编)设a解析：∵x>b时，y>0.由数轴穿根法，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③

5．(原创题)已知当x≥0时，函数y＝x2与函数y＝2x的图象如图所示，则当x≤0时，不等式2x·x2≥1的解集是。

解析：在2x·x2≥1中，令x＝－t，由x≤0得t≥0，2－t·(－t)2≥1，即t2≥2t，由所给图象得2≤t≤4，2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2.

答案：－4≤x≤－2

6．已知函数f(x)＝

1)画出f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调递增区间．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[-1,0]，[2,5]．

b组。1.(2023年合肥市高三质检)函数f(x)＝ln的图象只可能是。

解析：本题中f(x)的定义域为，且函数是偶函数．又当x≥0且x≠1时，y＝.先作函数y＝的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y＝(x≥0且x≠1)的图象(如图(a)所示)．

又函数是偶函数，作关于y轴对称图象，得y＝的图象(如图(b)所示)．

2)函数式可化为y＝其图象如图①所示．

3)函数式化为y＝其图象如图②所示．

4)先作出y＝log2x的图象，再将其图象向下平移1个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．

5)先作出y＝2x的图象，再将其图象在y轴左边的部分去掉，并作出y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象向右平移1个单位长度，即得y＝2|x－1|的图象，如图④所示．

11．已知函数f(x)＝－a>0且a≠1)．(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－对称；(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．

解：(1)证明：函数f(x)的定义域为r，任取一点(x，y)，它关于点(，－对称的点的坐标为(1－x，－1－y)．由已知，y＝－，则－1－y＝－1＋＝－f(1－x

－1－y＝f(1－x)．即函数y＝f(x)的图象关于点(，－对称．

2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即f(x)＋f(1－x)＝－1.

f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1.

则f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.

12．设函数f(x)＝(x∈r，且a≠0，x≠)．1)若a＝，b＝－，指出f(x)与g(x)＝的图象变换关系以及函数f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若ab＋1≠0，则f(x)的图象必关于直线y＝x对称．

解：(1)a＝，b＝－，f(x)＝＝2＋，f(x)的图象可由g(x)的图象沿x轴右移2个单位，再沿y轴上移2个单位得到，f(x)的图象的对称中心为点(2,2)．

2)证明：设p(x0，y0)为f(x)图象上任一点，则y0＝，p(x0，y0)关于y＝x的对称点为p′(y0，x0)．由y0＝得x0＝.∴p′(y0，x0)也在f(x)的图象上．故f(x)的图象关于直线y＝x对称。

函数应用。a组。

1．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为___

解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：3

2．根据**中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___

解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．

答案：(1,2)

3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是。

解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.

答案：2

4．(2023年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为___元。

解析：高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．