函数的图像

一．图像的变换。

．平移变换。

y = f (x + a) （a0）是由y = f (x)经左右平移得到 “左加右减”

y = f (x) +b （b0）是由y = f (x)经上下平移得到 “上加下减”

例：将曲线f (x ,y) =0沿x轴向右平移１个单位，再沿y轴向上平移一个单位后，曲线的方程为（）

ａ f (x＋1 , y－1) =0f (x －1 , y－1) =0

ｃ f (x－1 , y＋1) =0f (x ＋1 , y＋1) =0

答案：ｂ例：y = f (x＋２)是偶函数，求y = f (x)的对称轴。

例：若将函数y = f (x)的图像平移，使图像上的点（１，变为（２，则此图像平移后的解析式为（）

y = f (x－1y = f (x－1)－２

y = f (x＋1y = f (x＋1)－２

答案：ａ．对称变换。

函数y = f (x) 与y = f (x) 的图像关于x轴对称。

函数y = f (x) 与y = f (－x) 的图像关于y轴对称。

函数y = f (x) 与y = f (－x) 的图像关于原点对称。

函数y = f (x) 与y = f -1 (x) 的图像关于直线y = x对称。

函数y = f (x) 与x = f (y) 的图像关于直线y = x对称。

函数y = f (x) 与x = f (－y) 的图像关于y = x对称。

函数y = f (－a + x) 与函数y = f (a－x) 的图像关于直线x = a对称。

函数y = f (a + x) 与函数y = f (b－x) 的图像关于直线x =对称（注意：这是两个函数的对称轴，与一个函数的对称轴不同）

例：设直线y = f (x)定义在实数集上，则函数y = f (x－１)与y = f (１x)的图像关于直线___对称．

例：函数y = f (x)的图像向x轴正方向平移２个单位，得到ｃ1，ｃ1关于y轴对称的图像为ｃ2，则ｃ2的解析式为（）

y = f (－x＋２)y = f (x－２)

y = f (－x－２)y = f (x＋２)

例：已知f (x) =2 x ，画出f -1 (1－x)图像。

例：已知函数y = f (x－１)的图像，通过怎样的图像变换可得到y = f (－x＋２)的图像？

例：函数y = f (x＋1)与y = f -1(x＋1)的图象关于___对称。

答案：令x +1＝x/ ，由y= f (x/)与y = f -1(x/)的图象关于y= x/=x＋1对称。

例：设函数f (x) =若函数g (x ) 图像与y = f -1 (x+1) 关于直线y = x对称，求g (1)

法一：y = f -1 (x+1)的反函数是x = f -1 (y+1) ，即g (x )＝f (x)－1

法二：由图象可知y = f -1 (x)向左平移一个单位得到y = f -1 (x+1)，相应地，y = f (x)向下平移一个单位后，和y = f -1 (x+1)关于直线y = x对称，所以g (x )＝f (x)－1

例：y = f -1 (x)是函数y = f (x)的反函数，若将y = f (x)的图像绕原点按逆时针方向转动90后所得图像的解析式是___

y = f -1 (－x) ｂy = f -1 (x)

y =－f -1 (x) ｄy = f -1 (－x)

答案：ａ法一：y = f (x)逆时针转动90所得解析式与y = f －１x)关于y轴对称，可由特殊函数看出。

法二：设ｐ（x1，y1）在y = f (x)，则y1 = f (x1).ｐ点旋转至ｐ/（x，y），则有x 1=y，y1＝－x 所以－x＝f(y)，即y = f -1(－x)

例：已知定义域为r的函数f(x)满足f(－x)=－f(x+4)，且当x＞2时，f(x)单调递增。如果x+x＜4且(x－2)(x－2) ＜0，则f(x)+f(x)的值。

a．恒小于0b．恒大于0

c．可能为0d．可正可负。

答案：ａ f(－x)=－f(x+4)，说明f(x)关于（２，对称。

．翻转变换。

y = f (x) |的图像是将y = f (x)保留x轴上和上方部分，将x轴下方图像沿着x轴翻折得到．

y = f (|x|) 的图像是去掉y轴左侧部分，将y轴右侧图像沿着y轴翻折得到．

例：画出y = log2(x－２)的图像，并指出它的单调区间。

例：画出y = x2－2|x|－１的图像。

．伸缩变换。

y = f (ax)的图像是由y = f (x)图像上各点的横坐标变化到原来的倍得到。

y = af (x)的图像是由y = f (x)图像上各点的纵坐标变化到原来的a倍得到。

例：y=f (2x)的对称轴是x=1，则y=f(6－2x)的对称轴是___

答案：x=2

例：f (2x+1)是偶函数，则f (2x)的对称轴为___f (x)的对称轴为___

答案：x = x = 1

．自定义变换。

四．函数图像的应用：揭示函数性质，使数与形有机的结合起来。利用图像确定方程解的个数、解不等式都是很方便的。

例：求方程lgx = sinx的解的个数。

例：实系数方程的一个根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则的。

取值范围是。

分析：把看成（a，b）和（１，的连线的斜率。

例：解不等式。

答案：的图象是以原点为圆心，|a|为半径的上半圆，y2＝２x+a的图象是斜率为２，纵截距为a的直线

当a>0时，y1，y2交于ａ（０a），由图象知０当a<0时，由，解得x = 0)，则当时，y1例：已知x1是方程x＋lgx＝３的一个根，x2是方程x＋10 x ＝３的一个根，则x1＋x2＝__

答案：x1＋x2＝３

例：向高为ｈ的水瓶中注水，注满为止。如果注水量ｖ与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是（）

答案：ｂ例：如图，半径为2的⊙o切直线mn于p点，射线pr从pn出发绕p点按逆时针方向旋转到pm，旋转过程中，pr交⊙o于q点，设∠poq=x ，弓形pmq的面积为s=f (x) ，那么f(x)的图象大致是（）

答案：s的结构复杂，不易直接画出，但可以看出：开始随x的增大，s的增长速度逐渐加快，当x接近2π时的增长速度逐渐减慢，故应选d

例：已知函数f (x) =a x 3 + b x 2 + c x + d的图像如图，则（）

补充：平移。

一．平移公式。

1．设p（x ，y）是图形f上的任意一点，它在平移后图形f/上的对应点为p/（x/，y/），且设p p/的坐标为（h，k），则有，这个公式叫做点的平移公式，反映了图形中的每一点在平移前后的新坐标与原坐标间的关系。

2．平移公式及其变式。

二．点的平移与向量的平移。

点的平移依据点的平移公式去处理。

而长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故平移前、后的向量是相等的。

例：点（1，2）按=（3，4）平移后对应点为___

向量（1，2）按=（3，4）平移后对应向量为___

三．主要题型。

1．求平移向量。

1 已知平移前与平移后对应点的坐标。

例：若点a（3，5）按向量=（h，k）平移后对应点为a/（7，10），则h=__k=__

例：将一抛物线f：y = x 2－4x+7的图象按向量平移后，得到的抛物线的解析式为y = x2

求平移向量。

例：把函数y = log2 (x－2)＋３的图象经过怎样的平移，可以得到函数y = log2 x的图象。

2 已知平移前与平移后的函数解析式。

例：将抛物线f：y = x 2－4x+7图象按向量平移后，得到抛物线解析式为y = x2，求。

例：将函数y = f (x)的图象按向量平移后，得到图象的解析式为y =f (x－a)+b，求。

3 已知平移过程。

例：将函数y = f (x)的图象向左平移个单位，再向上平移２个单位，求。

．求平移后的函数解析式。

例：将曲线l：y = log 3 (x+2)－１按向量＝（２平移后得到曲线l/，求l/ 解析式。

．求平移前的函数解析式。

例：为得到y = f (x－１)的图象，需将函数ｆ的图象按向量＝（１平移，求ｆ解析式。

．综合应用。

例：把直线l 向左平移３个单位，再向上平移２个单位，得直线l/，把直线l向右平移４个单位，再向下平移５个单位，所得的直线也是l/，求直线l的斜率。

对称。一．点关于点对称。

点（a ，b）关于点（x ，y ）的对称点是（2x - a ，2y - b）

点（a ，b）关于原点的对称点是（-a ，-b）

二．点关于直线对称。

点（a ，b）关于x轴的对称点是（a ，-b）

点（a ，b）关于y轴的对称点是（-a ，b）

点（a ，b）关于直线y = x的对称点是（b ，a）

点（a ，b）关于直线y = x的对称点是（- b ，-a）

点（a ，b）关于直线x = m的对称点是（2m – a , b）

点（a ，b）关于直线y = n的对称点是（a ,2n - b）

点（a ，b）关于直线x + y + m = 0的对称点是（- b - m , a - m）

点（a ，b）关于直线x - y + m = 0的对称点是（ b - m , a + m）

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