― 引言。
在高考之中占有比较重要的地位，并且占的分数也多。分析历年的高考试题，在选择题，填空题，大题都有椭圆的题。所以我们对知识必须系统的掌握。
对各种题型，基本的解题方法也要有一定的了解。
二椭圆的知识。
一）、定义。
1 平面内与与定点f1、f2的距离之和等于定长2a(2a>|f1f2|)的点的轨迹叫做椭圆，其中f1、f2称为椭圆的焦点，|f1f2|称为焦距。其复数形式的方程为|z-z1|+|z-z2|=2a(2a>|z1-z2|)
2一动点到一个定点f的距离和它到一条直线的距离之比是一个大于0小于1的常数，则这个动点的轨迹叫椭圆，其中f称为椭圆的焦点，l称为椭圆的准线。
二）、方程。
1中心在原点，焦点在x轴上：
2中心在原点，焦点在y轴上：
3 参数方程：
4 一般方程：
三）、性质。
1 顶点：或。
2 对称性：关于，轴均对称，关于原点中心对称。
3 离心率：
4 准线。5 焦半径：设为上一点，f1、f2为左、右焦点，则，；设为上一点，f1、f2为下、上焦点，则，。
三椭圆题型。
一）椭圆定义。
1.椭圆定义的应用。
例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；
2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2 已知椭圆的离心率，求的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
满足条件的或．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．
例3 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
解：由得，且．
满足条件的的取值范围是，且．
说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．
例4 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．
解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．
2)由焦点在轴上，知，． 3)求的取值范围时，应注意题目中的条件。
例5 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点p满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
2.关于线段长最值的问题一般两个方法：一种是借助图形，由几何图形中量的关系求最值，二是建立函数关系求最值，或用均值不等式来求最值。
例(1)：点p为为椭圆上一点，f1、f2是椭圆的两个焦点，试求：取得最值时的点坐标。
解：(1)设，则。由椭圆第二定义知：。
。当时，取最大值，此时点p(0,±b)；当时，取最小值b2，此时点p(±a，0)。
二).焦半径及焦三角的应用。
例1 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·
由椭圆定义知： ②则得 ．
故．例2. 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点． 求的最大值、最小值及对应的点坐标；
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：如上图，，，设是椭圆上任一点，由，，∴等号仅当时成立，此时、、共线．
由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．
建立、的直线方程，解方程组得两交点。
综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．
三）、直线与椭圆相交问题。
1) 常用分析一元二次议程解的情况，仅有△还不够，且用数形结合的思想。
2) 弦的中点，弦长等，利用根与系数的关系式，但△>0这一制约条件不同意。
例1. 已知直线过椭圆的一个焦点，斜率为2，与椭圆相交于m、n两点，求弦的长。
解：由得。方法一：由弦长公式。
方法二： 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．
法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则，．
在中，，即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以．
法3)利用焦半径求解．
先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，，它们分别是，的横坐标．
再根据焦半径，，从而求出。
四）、“点差法”解题。“设而不求”的思想。
当涉及至平行法的中点轨迹，过定点弦的中点轨迹，过定点且被定点平分的弦所在直线方程，用“点差法”来求解。
步骤：1.设a(x1,y1) b(x2,y2)分别代入椭圆方程；
2.设为ab的中点。两式相减，
3.得出。注：一般的，对椭圆上弦及中点，，有。
说明：1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．
2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．
例1 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则。
1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为： ．
将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．
2）将代入⑤得所求轨迹方程为椭圆内部分）
3）将代入⑤得所求轨迹方程为： ．椭圆内部分）
4）由①＋②得将③④平方并整理得。
将⑧⑨代入⑦得。
再将代入⑩式得即 ．
此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例2 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
解：由题意，设椭圆方程为，由，得，∴，为所求．
例5 分析：已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出， (或，)的值代入计算即得．
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
解：方法一：设所求直线方程为．代入椭圆方程，整理得。
设直线与椭圆的交点为，，则、是①的两根，∴
为中点，∴，所求直线方程为．
方法二：设直线与椭圆交点，．∵为中点，∴，
又∵，在椭圆上，∴，两式相减得，即．∴．直线方程为．
方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为，另一个交点．
、在椭圆上。
从而，在方程①－②的图形上，而过、的直线只有一条，∴直线方程为．
五）、轨迹问题。
这一问题难，但是解决法非常多，有如下几种。
1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x，y)，直接列出动点所应满足的方程。
2.代入法：一个是动点q(x0,y0)在已知曲线f(x,y)=0，上运动，而动点p(x,y)与q点满足某种关系，要求p点的轨迹。其关键是列出p、q两点的关系式。
3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。
4.参数法：在x，y间的方程f(x,y)=0难以直接求得时，往往用(t为参数)来反映x，y之间的关系。
常用的参数有斜率k与角等。
例：的一边的的顶点是b(0,6)和c(0,-6)，另两边斜率的乘积是，求顶点a的轨迹方程：
解：设，由题设得。化简得。
椭圆常见题型总结
1 椭圆中的焦点三角形 通常结合定义 正弦定理 余弦定理 勾股定理来解决 椭圆上一点和焦点，为顶点的中，则当为短轴端点时最大，且。短轴长 2 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆交于两点，则。3 椭圆的中点弦 设是椭圆上不同两点，是线段的中点，可运用点差法可得直线斜率，且 4 椭圆的离心率。范围 越大，...
椭圆各类题型分类汇总
椭圆经典例题分类汇总。1.椭圆第一定义的应用。例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程 例2 已知椭圆的离心率，求的值 例3 已知方程表示椭圆，求的取值范围 例4 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围 例5 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程 2...
椭圆周末讲义题型汇总
椭圆专题复习。1.椭圆定义 当时，的轨迹为椭圆。当时，的轨迹不存在 当时，的轨迹为以为端点的线段。2.椭圆的方程与几何性质 题型1 椭圆定义 1 椭圆有这样的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点a b是它的焦点，长轴长为...