3．（2010·陕西高考理科·ｔ20）如图，椭圆c：
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ)设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于p点、与椭圆相交于a,b两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。
思路点拨】已知的方程组椭圆c的方程假设存在直线l使命题成立结论。
规范解答】（ⅰ由知a2+b2=7, ①由 ②又。
由 ①②解得。
故椭圆c的方程为。
ⅱ）设a,b两点的坐标分别为（x1,y1）(x2,y2)
假设存在直线l使成立，ⅰ）当l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于p点且得[**：学。
因为。由求根公式得： ④
将④⑤代入上式并化简得。
ⅱ）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，4.（2010·海南高考理科·t20）设分别是椭圆e:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与e 相交于两点，且，成等差数列。
ⅰ)求e的离心率；
ⅱ）设点p（0,-1）满足，求e的方程。
规范解答】（ⅰ由椭圆的定义知，，又。
得 ，的方程为，其中。
设，则两点坐标满足方程组。
化简得，则 ，.
因为直线ab斜率为1，所以。
得 ，故，所以e的离心率。
ⅱ）设两点的中点为，由（ⅰ)知，.
由，可知。即，得，从而。
椭圆e的方程为。
8.（2010·山东高考文科·ｔ22）如图，已知椭圆过点。，离心率为，左、右焦点分别为、.点为直线上且不在轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为、和、，为坐标原点。
1）求椭圆的标准方程。
2）设直线、的斜线分别为、.
证明：； 问直线上是否存在点，使得直线、、、
的斜率、、、满足？
若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。
规范解答】（1）因为椭圆过点（），所以。
又，所以。故所求椭圆方程为 .
(2) ①证明：方法一： 由于，，，的斜率分别为、，且点p不在轴上，所以。
又直线，的方程分别为，，联立方程组得。
所以，由于在直线上，所以，因此。
即结论成立。
方法二：设，则，，因为点p不在轴上，所以，又，所以结论成立。
:设 联立直线与椭圆的方程得化简得，因此 ， 需将本行和下一行的大写的改为小写。
由于oa,ob的斜率存在，所以因此。
相似地可以得到，若，须有。
当时，结合（1）的结论可得，所以解得点p的坐标为（0,2）；
当时，结合（1）的结论可得（此时，不满足，舍去），此时直线cd的方程为，联立方程得，因此点p的坐标为。
综上所述，满足条件的点p的坐标分别为（0,2），.
9.（2010·天津高考理科·ｔ20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
1） 求椭圆的方程；
2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点**段的垂直平分线上，且，求的值。
规范解答】（1）由，得，再由，得。
由题意可知，
解方程组得 a=2,b=1，所以椭圆的方程为。
2)解：由（1）可知a（-2,0）。设b点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是a,b两点的坐标满足方程组。
由方程组消去整理，得。
由得。设线段ab是中点为m，则m的坐标为。
以下分两种情况：
1）当k=0时，点b的坐标为（2,0）。线段ab的垂直平分线为y轴，于是。
2）当k时，线段ab的垂直平分线方程为（后边的y改为小写）
令x=0，解得。
由。整理得。综上。
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