椭圆经典例题分类汇总。
1. 椭圆第一定义的应用。
例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆的离心率，求的值．
例3 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
例4 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
例5 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
2.焦半径及焦三角的应用。
例1 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
例2 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
3.第二定义应用。
例1 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
例2 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．
例3 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．
1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标；
2) 求的最小值及对应的点的坐标．
4.参数方程应用。
例1 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
例2 (1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
例3 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．
5.相交情况下--弦长公式的应用。
例1 已知椭圆及直线．
1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
6.相交情况下—点差法的应用。
例1 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
例2 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程．
例3 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；
2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．
例4 已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称．
例5 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点，求直线的方程．
椭圆经典例题分类汇总。
1.椭圆第一定义的应用。
例1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；
2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2 已知椭圆的离心率，求的值．
分析：分两种情况进行讨论．
解：当椭圆的焦点在轴上时，，，得．由，得．
当椭圆的焦点在轴上时，，，得．
由，得，即．
满足条件的或．
说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上．故必须进行讨论．
例5 已知方程表示椭圆，求的取值范围．
解：由得，且．
满足条件的的取值范围是，且．
说明：本题易出现如下错解：由得，故的取值范围是．
出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中这个条件，当时，并不表示椭圆．
例6 已知表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围．
分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．
解：方程可化为．因为焦点在轴上，所以．
因此且从而．
说明：(1)由椭圆的标准方程知，，这是容易忽视的地方．
2)由焦点在轴上，知，． 3)求的取值范围时，应注意题目中的条件。
例5 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．
分析：关键是根据题意，列出点p满足的关系式．
解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点，即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径，即．∴点的轨迹是以，为两焦点，半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：．
说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
2.焦半径及焦三角的应用。
例1 已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：假设存在，设，由已知条件得，∴，
左准线的方程是，．
又由焦半径公式知：
整理得．解之得或。
另一方面。则①与②矛盾，所以满足条件的点不存在．
例2 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）．
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．
解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知： ·
由椭圆定义知： ②则得 ．
故．3.第二定义应用。
例1 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标．
分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求均可用此法．
解：由已知：，．所以，右准线．
过作，垂足为，交椭圆于，故．显然的最小值为，即为所求点，因此，且在椭圆上．故．所以．
说明：本题关键在于未知式中的“2”的处理．事实上，如图，，即是到右准线的距离的一半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值．
例2 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离．
分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由，得，，．
由椭圆定义，，得。
由椭圆第二定义，，为到左准线的距离，即到左准线的距离为．
解法二：∵，为到右准线的距离，．又椭圆两准线的距离为．
到左准线的距离为．
说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．
椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．
例3 已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．
1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标；
2) 求的最小值及对应的点的坐标．
分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．
解：1)如上图，，，设是椭圆上任一点，由，，∴等号仅当时成立，此时、、共线．
由，∴，等号仅当时成立，此时、、共线．
建立、的直线方程，解方程组得两交点。
综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值．
2)如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，，∴由椭圆第二定义知，∴，要使其和最小需有、、共线，即求到右准线距离．右准线方程为．
到右准线距离为．此时点纵坐标与点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点坐标．
说明：求的最小值，就是用第二定义转化后，过向相应准线作垂线段．巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段．
4.参数方程应用。
例1 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．
分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．
解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为。
当时，．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．
例2 (1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积．
分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．
解：(1) ．
2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在第一象限的顶点，则。
故椭圆内接矩形的最大面积为12．
说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．
例3 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点)，求其离心率的取值范围．
分析：∵、为定点，为动点，可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式，转化为关于的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．
解：设椭圆的参数方程是，则椭圆上的点，，，即，解得或， ∴舍去），，又，∴，又，∴．
说明：若已知椭圆离心率范围，求证在椭圆上总存在点使．如何证明？
5.相交情况下--弦长公式的应用。
例1 已知椭圆及直线．
1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？
2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．
解：（1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即．，解得．
2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．
根据弦长公式得 ：．解得．方程为．
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．
用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点，求弦的长．
分析：可以利用弦长公式求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．
解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
因为，，所以．因为焦点在轴上，所以椭圆方程为，左焦点，从而直线方程为．
由直线方程与椭圆方程联立得：．设，为方程两根，所以，，，从而．
法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．
由题意可知椭圆方程为，设，，则，．
在中，，即；
所以．同理在中，用余弦定理得，所以．
法3)利用焦半径求解．
椭圆周末讲义题型汇总
椭圆专题复习。1.椭圆定义 当时，的轨迹为椭圆。当时，的轨迹不存在 当时，的轨迹为以为端点的线段。2.椭圆的方程与几何性质 题型1 椭圆定义 1 椭圆有这样的光学性质 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点a b是它的焦点，长轴长为...
托福阅读各类题型汇总分析
智课网toefl备考资料。摘要 托福考试有好几种题型，各类题型都有其独有特点，独有的解题技巧，那么究竟该如何灵活运用呢？今天小编就针对这一问题对托福阅读各类题型汇总分析。了解托福考试会给你的备考带来很大的帮助，小编针对这点今天为大家分享的内容就是托福阅读各类题型汇总分析，我们一起来了解下托福阅读提醒...
82变压器各类题型汇总
变压器。一 变压器的动态电路。1 如图3所示，理想变压器给负载r供电 保持输入的交变电压不变，各交流电表对电路的影响不计 当负载电阻的滑动触头向下移动时，图中各交流电表的示数及变压器的输入功率p的变化情况是。和v2不变，a1增大，a2减小，p增大。和v2不变，a1和a2增大，p增大。和v2不变，a1...