椭圆最值问题常考题型分析

在遇到椭圆中线段或三角形周长最值问题时用函数思想有时很复杂，解题时常利用椭圆上点的性质（）及三角形三边关系。

典例剖析。例1、已知点，为椭圆的右焦点，点m在椭圆上移动，求的最大值和最小值。

解：设椭圆左焦点为，∴︱mp︱+︱mf2︱=︱mp︱+-mf1︱，连接pf1，延长pf1交椭圆于点m1，延长f1p交椭圆于点m2由三角形三边关系知–︱pf1︱︱mp︱-︱mf1︱︱pf1︱当且仅当m与m1重合时取右等号、m与m2重合时取左等号。

∵=10, ︱pf1︱=2所以（︱mp︱+︱mf2︱）max=12, （mp︱+︱mf2︱）min=8

结论：设椭圆的左右焦点分别为f1、f2， p(x0，y0)为椭圆内一点，m(x，y)为椭圆上任意一点，则。

mp︱+︱mf2︱的最大值为+︱pf1︱，最小值为–︱pf1︱。

例2、已知点p(-2,6），f2为椭圆的右焦点，点m在椭圆上移动，求︱mp︱+︱mf2︱的最大值和最小值。

解：由题可知点p在椭圆外，pf2交椭圆于m，此点使︱mp︱+︱mf2︱值最小（求最大值方法同例1）。

mp︱+︱mf2︱=︱mp︱+-mf1︱连接pf1并延长交椭圆于点m1，则m在m1处时︱mp︱-︱mf1︱取最大值︱pf1︱。

︱mp︱+︱mf2︱最大值是10+，最小值是。

结论：设椭圆的左右焦点分别为f1、f2, p(x0,y0)为椭圆外一点，m(x,y)为椭圆上任意一点，则。

mp︱+︱mf2︱的最大值为+︱pf1︱，最小值为pf2。

针对训练。练1、已知是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，点，则的最小值是。

练2、椭圆的左焦点为f，直线与椭圆交于a，b两点，求周长的最大值。

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