2011高考数学精品：函数专题。
第10课时函数模型及其应用。
1．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )
解析：选d.注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为d.
2．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈n)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大( )
a．3b．4
c．5d．6
解析：选c.由图可得营运总利润。
y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润。
－x－＋12，故x＝5时最大．
3．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )
a．2b．6
c．8d．10
解析：选a.依题意有：(100－10x)×70×≥112，2≤x≤8.
4．某商场为了“迎60年国庆”，对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：
如一次购物不超过200元，不予以折扣；
如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；
如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款( )
a．570.3元b．582.6元。
c．590.5元d．600元。
解析：选b.由题意得付款432元时，实际标价为432×＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656(元)的商品应付款500×0.
9＋156×0.85＝582.6(元)．
5.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )
a．2800元b．3000元。
c．3800元d．3818元。
解析：选c.设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意，得。
y＝如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，(x－800)×14%＝420，∴x＝3800.
6．已知一容器中有a，b两种菌，且在任何时刻a，b两种菌的个数乘积为定值1010.为了简单起见，科学家用pa＝lg(na)来记录a菌个数的资料，其中na为a菌的个数，则下列判断中正确的个数为( )
pa≥1若今天的pa值比昨天的pa值增加1，则今天的a菌个数比昨天的a菌个数多了10个。
假设科学家将b菌的个数控制为5万个，则此时5＜pa＜5.5
a．0b．1
c．2d．3
解析：选b.对于①，当a只有一个时，显然不成立．对于②，当n增加1时，应该增加到原来的10倍，所以②错．对于③，当b控制在5万个时，a应该为20万个，即lg(2×105)＝lg2＋lg105＝5＋lg2，又0＜lg2＜lg10，故命题成立．综上，选b.
7．(2023年济南质检)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入函数为y＝lg2x，则这三种门票分别为___万张时为失学儿童募捐纯收入最多．
解析：该函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c，则。
代入③有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2＝13.2(万元)，当且仅当时等号成立，解得a＝0.6，b＝1，c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
故三种门票分别为.8万张时为失学儿童募捐纯收入最多．
答案.88．(2023年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为___元(用数字作答)．
解析：高峰时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.568元，后150千瓦时为150×0.
598元．低谷时段的电价由两部分组成，前50千瓦时电价为50×0.288元，后50千瓦时为50×0.318元，∴电价为50×0.
568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.
318＝148.4(元)．
答案：148.4
9．**的震级r与**释放的能量e的关系为r＝(lge－11.4).2023年5月12日，中国汶川发生了8.
0级特大**，而2023年旧金山海湾区域**的震级为6.0级，那么2023年**的能量是2023年**能量的___倍．
解析：据题意可知8＝(lge1－11.4)lge1＝23.
4，又6＝(lge2－11.4)lge2＝20.4，故有lge1－lge2＝23.
4－20.4＝3lg＝3＝1000，即2023年**的能量是2023年的1000倍．
答案：1000
10．南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和**量数据(见下表)．
芦蒿的市场需求量信息表(1)
芦蒿的市场**量信息表(2)
1)写出描述芦蒿市场需求量y关于**x的近似函数关系式；
2)根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量(需求量与**量相等，又称供求平衡)，近似到吨．
解：(1)在直角坐标系中，由表(1)描出数对(x，y)对应的点，由图1可知这些点近似地构成一条直线(其中四个点在一直线上)，所以芦蒿的市场需求量关于**的近似函数关系式为y－40＝(x－2)，即y＝50－5x.①
图1 图2
2)同理，如图2，可知芦蒿市场**量关于**的近似函数关系式为y＝6x＋17.②
解①②联立的方程组，得x＝3，y＝35.
即市场对芦蒿的供求平衡量近似为35吨．
11．国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值u(美元)与其重量w(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
1)写出u关于w的函数关系式；
2)若把一颗钻石按重量比1∶3切割成两颗钻石时，求价值损失的百分率．
解：(1)依题意设u＝kw2，又当w＝3时，u＝54000，∴k＝6000.
故u＝kw2＝6000w2.
2)设这颗钻石的重量为a克拉，由(1)可知，按重量比为1∶3切割后的价值为。
6000(a)2＋6000(a)2.
价值损失为6000a2－[6000(a)2＋6000(a)2]．
价值损失的百分率为。
答：价值损失的百分率为37.5%.
12．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．
为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日**租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．
1)求函数y＝f(x)的解析式及其定义域；
2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
解：(1)当x≤6时，y＝50x－115.
令50x－115＞0，解得x＞2.3.
x∈n*，∴x≥3，∴3≤x≤6，x∈n*，当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115.
令[50－3(x－6)]x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，上述不等式的整数解为2≤x≤20(x∈n*)，6＜x≤20(x∈n*)．
故y＝ 定义域为．
2)对于y＝50x－115(3≤x≤6，x∈n*)．
显然当x＝6时，ymax＝185(元)，对于y＝－3x2＋68x－115
－3(x－)2＋(6＜x≤20，x∈n*)．
当x＝11时，ymax＝270(元)．
270＞185，当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．
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