2011高考数学精品：函数专题。
第5课时指数函数。
1．已知a＜，则化简的结果是( )
ab．－cd．－
解析：选c.＝＝1－4a)＝.
2．设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是( )
a．f(x＋y)＝f(x)·f(yb．f[(xy)n]＝[f(x)]n·[f(y)]n
c．f(x－yd．f(nx)＝[f(x)]n
解析：选b.由幂的运算性质可知ax＋y＝ax·ay，故a正确；
a(xy)n＝axnyn≠axn·ayn，故b错误；
ax－y＝，故c正确；
anx＝(ax)n，故d正确．
3．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，则( )
a．f(－2)＞f(－1b．f(－1)＞f(－2)
c．f(1)＞f(2d．f(－2)＞f(2)
解析：选a.∵f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，f(2)＝4，a－2＝4，∴a＝，f(x)＝(x|＝2|x|，f(－2)＞f(－1)，故选a.
4.(2023年高考山东卷)函数y＝的图象大致为( )
解析：选a.∵f(－x)＝＝f(x)，f(x)＝在其定义域上是奇函数，图象关于原点对称，排除d.
又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时函数为减函数，排除b、c.
5．给出下列结论：
当a＜0时，(a2)＝a3；
＝|a|(n＞1，n∈n*，n为偶数)；
函数f(x)＝(x－2)－(3x－7)0的定义域是；
若2x＝16,3y＝，则x＋y＝7.
其中正确的是( )
ab．②③cd．②④
解析：选b.∵a＜0时，(a2)＞0，a3＜0，∴①错；②显然正确；解，得x≥2且x≠，∴正确，∵2x＝16，∴x＝4，∵3y＝＝3－3，∴y＝－3，∴x＋y＝4＋(－3)＝1，∴④错．故②③正确．
6．设f(x)定义域为r，对任意的x都有f(x)＝f(2－x)，且当x≥1时，f(x)＝2x－1，则有( )
a．f()＜f()＜fb．f()＜f()＜f()
c．f()＜f()＜fd．f()＜f()＜f()
解析：选b.由条件f(x)＝f(2－x)可得函数图象关于直线x＝1对称，则f()＝f()，f()＝f()，由于当x≥1时，f(x)＝2x－1，即函数在[1，＋∞上为增函数，由于＞＞，故有f()＝f()＞f()＞f()＝f()．
7．(2023年襄樊调研)已知集合p＝，q＝，如果p∩q有且只有一个元素，那么实数m的取值范围是___
解析：如果p∩q有且只有一个元素，即函数y＝m与y＝ax＋1(a>0，且a≠1)图象只有一个公共点．
y＝ax＋1>1，∴m>1.
m的取值范围是(1，＋∞
答案：(1，＋∞
8．(2023年高考重庆卷)若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x
解析：(2x＋3)(2x－3)－4x－(x－x)
4x－33－4x＋4
答案：－23
9．若函数f(x)＝的定义域为r，则a的取值范围为___
解析：由f(x)＝的定义域为r.
可知2x2－2ax－a≥1恒成立．
即x2－2ax－a≥0恒成立．
解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
10．要使函数y＝1＋2x＋4xa在x∈(－1]上y>0恒成立，求a的取值范围．
解：由题意，得1＋2x＋4xa>0，在x∈(－1]上恒成立，即a>－在x∈(－1]上恒成立．
又∵－＝2x－()x＝－[x＋]2＋，当x∈(－1]时值域为(－∞a>－.
11．(2023年高考上海卷)已知函数f(x)＝2x－.
1)若f(x)＝2，求x的值；
2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；
当x≥0时，f(x)＝2x－.
由条件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，又2x＞0，解得2x＝1＋.
x＝log2(1＋)．
2)当t∈[1,2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0，即m(22t－1)≥－24t－1)．
22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
t∈[1,2]，∴1＋22t)∈[17，－5]，故m的取值范围是[－5，＋∞
12．设f(x)＝＋a＞0)是定义在r上的函数，1)f(x)可能是奇函数吗？
2)若f(x)是偶函数，试研究其单调性．
解：(1)假设f(x)是奇函数，由于定义域为r，f(－x)＝－f(x)，即＋＝－整理得(a＋)(ex＋e－x)＝0，即a＋＝0，即a2＋1＝0，显然无解．
f(x)不可能是奇函数．
2)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即＋＝＋整理得(a－)(ex＋e－x)＝0，有a－＝0，得a＝1.
f(x)＝e－x＋ex，以下讨论其单调性，取x1，x2∈r且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ex1＋e－x1－ex2－e－x2＝，其中ex1·ex2＞0，ex1－ex2＜0，当ex1＋x2－1＞0时，f(x1)＜f(x2)，f(x)为增函数，此时需要x1＋x2＞0，即增区间为[0，＋∞反之(－∞0]为减区间．
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