一．解答题。
1．（2012天津）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为p（x0，y0），点a（1，ya）、b（0，yb）、c（﹣1，yc）在该抛物线上．
ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，求顶点p的坐标；
求的值；ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．
2． （2012台州）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：
1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；
3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．
3．（2012随州）在一次数学活动课上，老师出了一道题：
1）解方程x2﹣2x﹣3=0
巡视后，老师发现同学们解此道题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：
2）解关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3=0（m为常数，且m≠0）．
老师继续巡视，及时观察、点拨大家，再接着，老师将第二道题变式为第三道题：
3）已知关于x的函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m为常数）
求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为a，y轴上的定点为c）；
若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为b．当△abc为锐角三角形时，观察图象，直接写出m的取值范围．
请你也用自己熟悉的方法解上述三道题．
4．（2012苏州）如图，已知抛物线y=x2﹣（b+1）x+（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点a、b（点a位于点b的左侧），与y轴的正半轴交于点c．
1）点b的坐标为点c的坐标为用含b的代数式表示）；
2）请你探索在第一象限内是否存在点p，使得四边形pcob的面积等于2b，且△pbc是以点p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；
3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点q，使得△qco，△qoa和△qab中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由．
5．（2012深圳）如图，已知△abc的三个顶点坐标分别为a（﹣4，0）、b（1，0）、c（﹣2，6）．
1）求经过a、b、c三点的抛物线解析式；
2）设直线bc交y轴于点e，连接ae，求证：ae=ce；
3）设抛物线与y轴交于点d，连接ad交bc于点f，试问以a、b、f为顶点的三角形与△abc相似吗？
5．（2012绍兴）如图，矩形oabc的两边在坐标轴上，连接ac，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过a，b两点．
1）求a点坐标及线段ab的长；
2）若点p由点a出发以每秒1个单位的速度沿ab边向点b移动，1秒后点q也由点a出发以每秒7个单位的速度沿ao，oc，cb边向点b移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点p的移动时间为t秒．
当pq⊥ac时，求t的值；
当pq∥ac时，对于抛物线对称轴上一点h，∠hoq＞∠poq，求点h的纵坐标的取值范围．
6．（2012陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
1）“抛物线三角形”一定是三角形；
2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
3）如图，△oab是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点o为对称中心的矩形abcd？若存在，求出过o、c、d三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
7．（2012泉州）如图，o为坐标原点，直线l绕着点a（0，2）旋转，与经过点c（0，1）的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点p、q．
1）求h的值；
2）通过操作、观察，算出△poq的面积的最小值（不必说理）；
3）过点p、c作直线，与x轴交于点b，试问：在直线l的旋转过程中，四边形aobq是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形的形状．
8．（2012衢州）如图，把两个全等的rt△aob和rt△cod分别置于平面直角坐标系中，使直角边ob、od在x轴上．已知点a（1，2），过a、c两点的直线分别交x轴、y轴于点e、f．抛物线y=ax2+bx+c经过o、a、c三点．
1）求该抛物线的函数解析式；
2）点p为线段oc上一个动点，过点p作y轴的平行线交抛物线于点m，交x轴于点n，问是否存在这样的点p，使得四边形abpm为等腰梯形？若存在，求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由．
3）若△aob沿ac方向平移（点a始终**段ac上，且不与点c重合），△aob在平移过程中与△cod重叠部分面积记为s．试**s是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
9．（2012黔西南州）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点a（0，4），b（1，0），c（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点m．
1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
2）设点p为抛物线（x＞5）上的一点，若以a、o、m、p为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点p的坐标；
3）连接ac，探索：在直线ac下方的抛物线上是否存在一点n，使△nac的面积最大？若存在，请你求出点n的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2012攀枝花）如图，在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd是菱形，顶点a、c、d均在坐标轴上，且ab=5，sinb=．
1）求过a、c、d三点的抛物线的解析式；
2）记直线ab的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
3）设直线ab与（1）中抛物线的另一个交点为e，p点为抛物线上a、e两点之间的一个动点，当p点在何处时，△pae的面积最大？并求出面积的最大值．
12．（2012宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于a（﹣1，0），b（2，0），交y轴于c（0，﹣2），过a，c画直线．
1）求二次函数的解析式；
2）点p在x轴正半轴上，且pa=pc，求op的长；
3）点m在二次函数图象上，以m为圆心的圆与直线ac相切，切点为h．
若m在y轴右侧，且△chm∽△aoc（点c与点a对应），求点m的坐标；
若⊙m的半径为，求点m的坐标．
13．（2012南通）如图，经过点a（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于b（﹣2，0），c两点，o为坐标原点．
1）求抛物线的解析式；
2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点p在△abc内，求m的取值范围；
3）设点m在y轴上，∠omb+∠oab=∠acb，求am的长．
14．（2012南充）如图，⊙c的内接△aob中，ab=ao=4，tan∠aob=，抛物线y=ax2+bx经过点a（4，0）与点（﹣2，6）．
1）求抛物线的函数解析式；
2）直线m与⊙c相切于点a，交y轴于点d．动点p**段ob上，从点o出发向点b运动；同时动点q**段da上，从点d出发向点a运动；点p的速度为每秒一个单位长，点q的速度为每秒2个单位长，当pq⊥ad时，求运动时间t的值；
3）点r在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△rob面积最大时，求点r的坐标．
15．（2012内江）如图，已知点a（﹣1，0），b（4，0），点c在y轴的正半轴上，且∠acb=90°，抛物线y=ax2+bx+c经过a、b、c三点，其顶点为m．
1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；
2）试判断直线cm与以ab为直径的圆的位置关系，并加以证明；
3）在抛物线上是否存在点n，使得s△bcn=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．
16．（2012绵阳）如图1，在直角坐标系中，o是坐标原点，点a在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象f交x轴于b、c两点，交y轴于m点，其中b（﹣3，0），m（0，﹣1）．已知am=bc．
1）求二次函数的解析式；
2）证明：在抛物线f上存在点d，使a、b、c、d四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线bd的解析式；
3）在（2）的条件下，设直线l过d且分别交直线ba、bc于不同的p、q两点，ac、bd相交于n．
若直线l⊥bd，如图1，试求的值；
若l为满足条件的任意直线．如图2．①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例．
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