1、映射： ab的概念。在理解映射概念时要注意：⑴a中元素必须都有象且唯一；⑵b中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
学生记不住多对一与一对一的情况。
记住的好方法：
原象——x;象——y
1）多个x可以对应一个y，但绝对不能一个x对应多个y
2）原象里面的元素必须多对应出去，必须取满，y可剩。
中国里，一夫多妻，xx表示女性，xy表示男性，多个女的可以对一个男的，但一个女的不能对多个男的。
高考题：若，，，则到的映射有个，到的映射有个，到的函数有个（答：81,64,81）；
2、求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：
1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中， 最大角，最小角等。
如（a）函数的定义域是___答：)；
b）若函数的定义域为r，则___答：)；
c）函数的定义域是，，则函数的定义域是答：)；
d）设函数，①若的定义域是r，求实数的取值范围；②若的值域是r，求实数的取值范围（答：①；
2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。
3）复合函数的定义域：若已知的定义域为，其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为，求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。
如（a）若函数的定义域为，则的定义域为答：）；
b）若函数的定义域为，则函数的定义域为___答：[1,5]）．
4）抽象函数的定义域。
a）f(x)的定义域是（-1，1），求f(2x+1)的定义域(-1<2x+1<1-1（b）f(2x-1)的定义域是（-2，0），求f(2x+1)的定义域(-3 可以这样理解：括号的范围是一样的，定义域是x的范围f是房子的房，房子。
的高度一样，所以要求进去的条件是一样的。
c）f(x)的定义域是（0，+）f(x)是增函数，f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=2,f(x-3)+f(x)>4,求x的取值范围(x>4)
3、求函数值域（最值）的方法
1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（a）求函数的值域（答：[4,8]）；
b）当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___答：）；
c）已知的图象过点（2,1），则的值域为___答：[2, 5]）
2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如（a）的值域为___答：）；
b）的值域为___答：）（令，。运用换元法时，要特别要注意新元的范围）；
c）的值域为___答：）；4）的值域为___答：）；
3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数，，的值域（答：、（0,1）、）
4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求，，的值域为___答：、、
5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如（a）已知点在圆上，求及的取值范围（答：、）
b）求函数的值域（答：）；3）求函数及的值域（答：、）
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。
6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
型，可直接用不等式性质，如求的值域（答：）
型，先化简，再用均值不等式，如（a）求的值域（答：）；
b）求函数的值域（答：）
型，通常用判别式法；如已知函数的定义域为r，值域为[0，2]，求常数的值（答：）
型，可用判别式法或均值不等式法，如求的值域（答：）
7）不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
如设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是答：）。
8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数，的最小值。（答：－48）
9）对勾函数法像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了。
讲这个时，先把模型告诉学生，就是两个勾，上一勾，下一勾，教完以后一定要让他亲自亲手拿笔画一下，不然他老会画不好。图形中，本来是要求有两个渐近线y=x与y=-x的，但这个渐近线根本就没有什么用，整个高中三年都用不着。所以只需要让学生画两个勾。
三种模型：第一种：如y=x+ 求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x [-1,0 ) 0,4],求值域
第二种：如 y=x+求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）
第三种：如 y=2x+ （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间。
提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？
4、函数的奇偶性。
1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数，为奇函数，其中，则的值是 （答：0）；
2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
定义法：如判断函数的奇偶性___答：奇函数）。
利用函数奇偶性定义的等价形式：或（）。如判断的奇偶性___答：偶函数）
图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于轴对称。
3）函数奇偶性的性质：
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数。
若为偶函数，则。如若定义在r上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为___答：）
若奇函数定义域中含有0，则必有。故是为奇函数的既不充分也不必要条件。如若为奇函数，则实数＝__答：1）.
定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为r的任一函数，，。判断与的奇偶性； ②若将函数，表示成一个奇函数和一个偶函数之和，则＝__答：
①为偶函数，为奇函数；②＝
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.
5、函数的单调性。
1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间内，若总有，则为增函数；反之，若在区间内为增函数，则，请注意两者的区别所在。如已知函数在区间上是增函数，则的取值范围是___答：
）)在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意。
型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为，减区间为。如（a）若函数在区间（－∞4] 上是减函数，那么实数的取值范围是___答：
）)b）已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围___答：）；
c）若函数的值域为r，则实数的取值范围是___答：且）)；
复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数的单调递增区间是___答：（1,2）)。
2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数在区间上为减函数，求的取值范围（答：）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗？（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。（答：）
6、 函数的周期性。
1）类比“三角函数图像”得：
若图像有两条对称轴，则必是周期函数，且一周期为；
若图像有两个对称中心，则是周期函数，且一周期为；
如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴，则函数必是周期函数，且一周期为；
如已知定义在上的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有个实数根（答：5）
2）由周期函数的定义“函数满足，则是周期为的周期函数”得：
若f(x+a)=f(x+b) 则t=|b-a|
函数满足，则是周期为2的周期函数；
若恒成立，则；
若恒成立，则。
如(1) 设是上的奇函数，，当时，，则等于___答：)；2)定义在上的偶函数满足，且在上是减函数，若是锐角三角形的两个内角，则的大小关系为答：)；3）已知是偶函数，且=993， =是奇函数，求的值(答：
993)；（4）设是定义域为r的函数，且，又，则答：)
7、 函数的对称性。
满足条件f(a-x)=f(b+x) 的函数的图象关于直线对称。如已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝__答：)；
点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
点关于轴的对称点为；函数关于轴的对称曲线方程为；
点关于原点的对称点为；函数关于原点的对称曲线方程为；
点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。特别地，点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。
点关于直线的对称点为；曲线关于直线的对称曲线的方程为。如己知函数，若的图像是，它关于直线对称图像是关于原点对称的图像为对应的函数解析式是答：）；
曲线关于点的对称曲线的方程为。如若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则＝__答：）
2023年高考数学总复习之函数综合应用
函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。本周教学例题 例1 设函数f x lg x2 ax a 1 给出下述命题 f x 有最小值。当a 0时，f x...
2019届高考复习 函数
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2023年高考数学总复习2 1函数及其表示新人教B版
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