函数知识是贯穿高中数学的一条主线，其方程思想揭示了知识间的内在联系，它与不等式，数列，解析几何，三角等知识都有交汇。此外函数知识中图象，性质，函数概念等纵向的综合问题，也是考察的重点，难点。
本周教学例题：
例1．设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下述命题：
① f(x)有最小值。
② 当a=0时，f(x)的值域为r。
③ 当a>0时，f(x)在区间[2，+∞上有反函数。
④ 若f(x)在区间[2,+∞上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4。
其中正确命题的序号为：②，
分析：<1>既要逐个判断命题，又要注意各个命题之间的相互联系。有时，判断其中一个命题成立时，同时可判断其否命题不成立。如其中的①和②。
<2>逐个命题给予判断：
由①:a=0时，f(x)∈r, ∴f(x)无最小值，因此①不正确，而②是正确的。
由③:若使f(x)在 [2，+∞上有反函数，设u=g(x)=x2+ax-a-1, 对称轴x=-,
当x∈[2,+∞时，要使u>0, 即g(2)>0。
则有：22+2a-a-1>0，即a>-3, 又-≤2a≥-4。
∵ a>0, 则符合题意要求。
又∵ u在(-,上单调增，lgu也为单增函数，
∴ f(x)当a>0时，在[2,+∞上有反函数，即③正确。
由④f(x)在[2,+∞上单增，
只需： a>-3, ∴a≥-4不能保证f(x)在[2,+∞上单增，
因此④不正确。
小结：上述问题中，复合函数的单调性问题是一个难点问题。既要考虑分解出的各个函数的单调性，又要重视定义域问题。
例2．已知点p(x, y)在函数y=-x2+x-的图象上运动 ，其对应点q()在函数g(x)的图象上运动，<1>求g(x)的解析式。
<2>问：是否存在实数m, n(m设g(x)图象上的点(x1, y1),
据题意有： ，
<2> 。对称轴：x=1。又m0，又f(0)=0,
∴ f(3)>f(0)，又f(x)在r上单调函数， ∴f(x)在r上为单调增函数，
∵ f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0,
即， ∴ ，即对x∈r成立，
令3x=t>0，∴ t2-(k+1)t+2>0对任意t>0均成立。
（方法1）令g(t)=t2-(k+1)t+2, 对称轴：
当，即k<-1时，g(0)=2>0符合题意。
当时，对任意t>0，有g(t)>0恒成立，只需：
解得：。 综上，当时，对任意均成立。
（方法2）由（i）
∵ 3x>0, ∴
使， ∴等号可以取到）。
要使对任意（i）成立，只需即可。
小结：对于抽象函数，先从性质入手，再由性质来解决其它问题。例3中方法1是化为一元二次不等式的解集问题处理的。
而方法2则将k与x两个变量分离在不等式两边，从而由一边关于x的范围得出k的范围，而求关于x的函数的值域时，应用的是平均不等式。
例4．已知函数（a,b,c∈r, a>0, b>0）是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中。
b∈n,且。
（1）试求函数f(x)的解析式。
（2）问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由。
解：（1）：∵f(x)为奇函数， ∴f(-x)=-f(x),
∴ c=0, ,
∵ x>0时，f(x)min=2。
即， 当且仅当， ，即时达到最小值，
∴ 有a=b2。
又∵ ,即， ，
∴ b∈n，∴b=1, ∴a=1。
（2）设存在一点(x0, y0)在y=f(x)的图象上，且关于点(1,0)的对称点为(2-x0, -y0)也在y=f(x)图象上
则 ， 解得：，
∴ y=f(x)图象上存在两点关于点(1,0)对称。
例5．已知函数，f2(x)=x+2。（1）若方程f1(x+a)=f2(x)有两个不相等的实根，求实数a的取值范围。（2）若f1(x)>f2(x-b)的解集为，求实数b的值。
解：（1）《法1> ，图象如下：
圆心(-a, 0)，半径r=1, 设圆心到y=x+2距离为d, ,由题意，
如上图，时，l与c相交，
当a=1时，如图（3），l与c有两个公共点，
a>1时，l与半圆只有一个公共点，
《法2 > 有两个实根有两个不小于-2的根。
设g(x)=2x2+2(a+2)x+a2+3。
如右图，只需
（2）∵ f1(x)>f2(x-b)
即，解集为，
∴ 当时， ，
只需直线：过点， 解得：。
小结：例4是函数与解析几何知识的结合。而例5则是数形结合的思想解决函数问题的类型。
对于（1）中解法1应注意等价转化，且不同情况画出相应图形，注意如何表述。而解法2则是应用化为一元二次方程实根分布的思想解决的，要联系二次函数图象，主要考察开口方向，对称轴位置，与x轴交点情况，及区间端点函数值的符号。
总之，函数的综合问题一是本身各方面知识综合，另一个就是与其它知识的结合，需要多练习，多反思。
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