《2023年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-2
第一章导数及其应用。
无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！
基础知识【理解去记】
1．极限定义：（1）若数列满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈n时，恒有|un-a|<ε成立（a为常数），则称a为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为，另外=a表示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为a，称右极限。类似地表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。
2．极限的四则运算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)g(x)]=ab,
3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量δx时（δx充分小），因变量y也随之取得增量δy(δy=f(x0+δx)-f(x0)).若存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作(x0)或或，即。
由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间i上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：
f(x)在点x0处导数(x0)等于曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的斜率。
6．【必背】八大常用函数的导数：
1）=0（c为常数）；
2）（a为任意常数）；
7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则。
1）；（2）；（3）（c为常数）；（4）；（5）。
8．**必会】复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x)，已知(x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u=(x))处可导，则复合函数y=f[(x)]在点x处可导，且（f[(x)]=
9.导数与函数的性质：单调性：
（1）若f(x)在区间i上可导，则f(x)在i上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有，则f(x)在(a,b)单调递减。
10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则。
11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时，当x∈(x0,x0+δ)时，则f(x)在x0处取得极大值。
12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且。（1）若，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若，则f(x)在x0处取得极大值。
13．【了解】罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使。
证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)，.若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。
二、基础例题【必会】
1．极限的求法。
例1 求下列极限：（1）；（2）；（3）；（4）
解]（1）=；
2）当a>1时，当0当a=1时，3）因为。而。所以。
例2 求下列极限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)…1+)(x|<1)；
解] （1）(1+x)(1+x2)(1+)…1+)
2．连续性的讨论。
例3 设f(x)在(-∞内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。
解] 当x∈[0,1)时，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，则x=t-1，当x∈[1,2)时，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因为t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,从而t∈[1,2)时，有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，当x∈[1,2)时，令x+1=t，则当t∈[2,3)时，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从而f(x)=所以
所以 所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2处连续。
3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。
解] 因为点(2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0,y0)，则，切线的斜率为，所以切线方程为y-y0=，即。又因为此切线过点（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即x+y-2=0.
4．导数的计算。
例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。
解] （1）3cos(3x+1).
5．用导数讨论函数的单调性。
例6 设a>0，求函数f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞的单调区间。
解] ，因为x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.
1）当a>1时，对所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞上单调递增；（2）当a=1时，对x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞内递增，又f(x)在x=1处连续，因此f(x)在(0,+∞内递增；（3）当00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)内单调递增，在(2-a+,+内也单调递增，而当2-a-6．利用导数证明不等式。
例7 设，求证：sinx+tanx>2x.
证明] 设f(x)=sinx+tanx-2x，则=cosx+sec2x-2，当时，（因为0f(0)=0，即sinx+tanx>2x.
7.利用导数讨论极值。
例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。
解] 因为f(x)在(0,+∞上连续，可导，又f(x)在x1=1，x2=2处取得极值，所以，又+2bx+1，所以解得。
所以。所以当x∈(0,1)时，，所以f(x)在(0,1]上递减；
当x∈(1,2)时，，所以f(x)在[1，2]上递增；
当x∈(2,+∞时，，所以f(x)在[2，+∞上递减。
综上可知f(x)在x1=1处取得极小值，在x2=2处取得极大值。
例9 设x∈[0,π]y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。
解] 首先，当x∈[0,π]y∈[0,1]时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,当时，因为cosx>0,tanx>x，所以；
当时，因为cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；
又因为g(x)在(0,π)上连续，所以g(x)在(0,π)上单调递减。
又因为0<(1-y)xg(x)，即，又因为，所以当x∈(0,π)y∈(0,1)时，f(x,y)>0.
其次，当x=0时，f(x,y)=0；当x=π时，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.
当y=1时，f(x,y)=-sinx+sinx=0；当y=1时，f(x,y)=sinx≥0.
综上，当且仅当x=0或y=0或x=π且y=1时，f(x,y)取最小值0。
三、趋近高考【必懂】
这些高考题取自2009-2023年各个热门省市，同学一定重视，在此基础上，我会对这些高考题作以删减，以便同学在最短时间内理解明白！
1.（2009全国卷ⅰ理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为。
a.1b. 2c.-1d.-2
答案 b解：设切点，则，又。
故答案选b
2.（2009安徽卷理）已知函数在r上满足，则曲线。
在点处的切线方程是。
a. b. c. d.
答案 a解析由得几何，即，∴∴切线方程，即选a
3.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于。
a．或 b．或 c．或d．或。
答案 a解析设过的直线与相切于点，所以切线方程为。
即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选。
4.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x－1)=5
a. b.3 c. d.4
答案 c解析由题意。
所以，即2令2x1＝7－2t,代入上式得7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)
∴5－2t＝2log2(t－1)与②式比较得t＝x2
于是2x1＝7－2x2
5.（2009天津卷理）设函数则。
a在区间内均有零点。
b在区间内均无零点。
c在区间内有零点，在区间内无零点。
d在区间内无零点，在区间内有零点。
解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间。
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