第二章函数与导数第14课时函数的综合应用(对应学生用书(文)、(理)37～39页)
1. (必修1p87习题13改编)已知集合a＝，b＝，则a∩b
答案：(2－log32，11)
解析：由33－x<6，知3－x3－log36，所以a＝(2－log32，＋∞
由lg(x－1)<1，知0所以b＝(1，11)，所以a∩b＝(2－log32，11)．
2. 已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为___
答案：－解析：因为a、b为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a＋b＋2＝4，即a＋b＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－a＋b)＋＝
3. (原创)若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞上是增函数，则实数a的取值范围是___
答案：[5，7]
解析：f′(x)＝x2－ax＋(a－1)，由题意，f′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞上恒成立，所以5≤a≤7.
4. (原创)已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈r都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x1、x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有》0，给出下列命题：
f(3)＝0；
直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数；
函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是填序号)
答案：①②解析：令x＝－3，得f(－3)＝0，由y＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x＋6)＝f(x)，所以y＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y轴对称，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．
5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝|x－1|－1|，若关于x的方程f(x)＝m(m∈r)恰有四个互不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是___
答案：(－3，0)
解析：f(x)＝|x－1|－1|＝方程f(x)＝m的解就是y＝f(x)的图象与直线y＝m交点的横坐标，由图可知，x2＝－x1，x3＝2＋x1，x4＝2－x1，且－1[备课札记]
题型1 已知函数解析式研究函数的性质。
例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.
1) 求函数f(x)的定义域；
2) 判断函数f(x)的奇偶性；
3) 求函数f(x)的值域．
解：(1) 由得－1所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．
2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2＝lg(1－x2)＋x4－2x2，设t＝1－x2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．
所以y＝lg(1－x2)＋x4－2x2＝lgt＋(t2－1)，t∈(0，1]，设0所以lgt1＋(t－1)所以函数y＝lgt＋(t2－1)在t∈(0，1]上为增函数，所以函数f(x)的值域为(－∞0]．
关于函数f(x)＝lg (x>0，x∈r)，下列命题正确的是填序号)
函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；
在区间(－∞0)上，函数y＝f(x)是减函数；
函数y＝f(x)的最小值为lg2；
在区间(1，＋∞上，函数y＝f(x)是增函数．
答案：①③解析：由f(－x)＝lg＝lg＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg＝f，知②错误；由＝|x|＋≥2，知f(x)＝lg≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x＋在(1，＋∞上为增函数，所以y＝f(x)在(1，＋∞上也是增函数，故④正确．综上所述，①③均正确．
题型2 函数图象与函数性质的联系。
例2 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．
1) 若a＝1，作函数f(x)的图象；
2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
3) 设h(x)＝，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1) 当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1
作图如下．2) 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.
若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.
若a≠0，则f(x)＝a＋2a－－1，f(x)图象的对称轴是直线x＝.
当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.
当0<<1，即a>时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.
当1≤≤2，即≤a≤时，g(a)＝f＝2a－－1.
当》2，即0综上可得g(a)＝
3) 当x∈[1，2]时，h(x)＝ax＋－1，在区间[1，2]上任取x1、x2，且x1则h(x2)－h(x1)＝－
(x2－x1)＝(x2－x1)·.
因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x2)－h(x1)>0.
因为x2－x1>0，x1x2>0，所以ax1x2－(2a－1)>0，即ax1x2>2a－1.
当a＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a＝0时结论成立．
当a>0时，x1x2>，由1当a<0时，x1x2<，由1所以实数a的取值范围为。
设函数f(x)＝其中b>0，c∈r.当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
1) 求函数f(x)的表达式；
2) 若方程f(x)＝x＋a(a∈r)至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．
解：(1) ∵当且仅当x＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.
二次函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－＝2.
且有f(－2)＝(2)2－2b＋c＝－2，即2b－c＝6.
b＝4，c＝2.
f(x)＝
2) 记方程①：2＝x＋a(x>0)，方程②：x2＋4x＋2＝x＋a(x≤0)．
分别研究方程①和方程②的根的情况：
ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根 a<2，方程①没有实数根 a≥2.
ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有两个不相同的非正实数根．
－方程②有且仅有一个实数根，即方程x2＋3x＋2－a＝0有且仅有一个非正实数根．
2－a<0或δ＝0，即a>2或a＝－.
综上可知，当方程f(x)＝x＋a(a∈r)有三个不相同的实数根时，－ 当方程f(x)＝x＋a(a∈r)有且仅有两个不相同的实数根时，a＝－或a＝2.
符合题意的实数a取值的集合为。
题型3 函数的最值与不等式恒成立问题。
例3 已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
1) 求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值；
2) 对一切x∈(0，＋∞2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
3) 证明对一切x∈(0，＋∞都有lnx>－成立．
1) 解：f′(x)＝lnx＋1，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
当0③ 当≤t所以f(x)min＝
2) 解：由题意，要使2xlnx≥－x2＋ax－3在x∈(0，＋∞恒成立，即要使a≤2lnx＋x＋恒成立．
设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝＋1－＝＝
当x∈(0，1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
所以x＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值，即[h(x)]min＝h(1)＝4，所以a≤4.
3) 证明：问题等价于证明xlnx>－，x∈(0，＋∞
由(1)知，f(x)＝xlnx在(0，＋∞上最小值是－，当且仅当x＝时取得．
设m(x)＝－x∈(0，＋∞则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－当且仅当x＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞都有lnx>－成立．
定义在d上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈d，存在常数m>0，都有|f(x)|≤m成立，则称f(x)是d上的有界函数，其中m称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·x＋x.
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