第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页)
1. (选修12p35练习题4改编)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是。
答案：大前提错误。
解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．
2. (选修12p35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程。
答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)
3. (选修12p29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是。
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…3n－2)＝(2n－1)2
解析：等式右边的底数为左边的项数．
4. (选修12p29练习题3(2)改编)观察下列等式：
2＝4；×2＝4；＋3＝；×3＝；＋4＝；×4＝；…根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为。
答案：＋(n＋1)＝×n＋1)(n∈n*)
解析：由归纳推理得＋(n＋1)＝＝n＋1)＝，所以得出结论＋(n＋1)＝×n＋1)(n∈n*)．
5. 已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：s＝×底×高，可得扇形的面积公式为___
答案： rl
1. 归纳推理。
1) 归纳推理的定义。
从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．
2) 归纳推理的思维过程大致如图。
3) 归纳推理的特点。
归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．
由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．
归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
2. 类比推理。
1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．
2) 类比推理的思维过程。
3. 演绎推理。
1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
2) 主要形式是三段论式推理．
3) 三段论的常用格式为。
m — p(m是p)①
s－m(s是m)②
s — p(s是p)③
其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
备课札记]题型1 归纳推理。
例1 在各项为正的数列中，数列的前n项和sn满足sn＝.
1) 求a1，a2，a3；
2) 由(1)猜想数列的通项公式；
3) 求sn.
解：(1) 当n＝1时，s1＝，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵ a1>0，∴ a1＝1；
当n＝2时，s2＝，即a＋2a2－1＝0.
a2>0, ∴a2＝－1.同理可得，a3＝－.
2) 由(1)猜想an＝－.
3) sn＝1＋(－1
已知数列满足a1＝2，an＋1＝(n∈n*)，则a3a1·a2·a3·…·a2007
答案：－ 3
解析：(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－、a4＝、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.
解法2)由an＋1＝，联想到两角和的正切公式，设a1＝2＝tanθ，则有a2＝tan，a3＝tan，a4＝tan，a5＝tan(π＋a1，….则a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2 007＝a2 005·a2 006·a2 007＝a1·a2·a3＝3.
题型2 类比推理。
例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为。类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为___
答案：解析：在已知的平面图形中，中心o到两边的距离相等(如图1)，即om＝on.
四边形opar是圆内接四边形，rt△opn≌rt△orm，因此s四边形opar＝s正方形oman＝a2.
同样地，类比到空间，如图2.
两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为a3.
已知椭圆具有性质：若m、n是椭圆c上关于原点对称的两个点，点p为椭圆上任意一点，当直线pm、pn的斜率都存在，并记为kpm、kpn，那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．
解：类似的性质为：若m、n是双曲线：
－＝1上关于原点对称的两个点，点p是双曲线上任意一点，当直线pm、pn的斜率都存在，并记为kpm，kpn时，那么kpm与kpn之积是与点p位置无关的定值．证明如下：
设点m的坐标为(m，n)，则点n的坐标为(－m，－n)，其中－＝1.
又设点p的坐标为(x，y)，由kpm＝，kpn＝，得kpm·kpn＝·＝将y2＝x2－b2，n2＝m2－b2代入得kpm·kpn＝.
题型3 演绎推理。
例3 设同时满足条件：①≤bn＋1(n∈n*)；bn≤m(n∈n*，m是与n无关的常数)的无穷数列叫“特界” 数列．
1) 若数列为等差数列，sn是其前n项和，a3＝4，s3＝18，求sn；
2) 判断(1)中的数列是否为“特界” 数列，并说明理由．
解：(1) 设等差数列的公差为d，则a1＋2d＝4，3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，sn＝na1＋d＝－n2＋9n.
2) 由－sn＋1＝
＝＝－1<0，得综上，数列是“特界”数列．
设数列满足a1＝0且－＝ 1.
1) 求的通项公式；
2) 设bn＝，记sn＝bk，证明：sn<1.
1)解： 由题设－＝1，即是公差为1的等差数列．
又＝1，故＝n.所以an＝1－.
2) 证明： 由(1)得。
bn＝＝＝sn＝
1. 观察下列不等式：
1＋＜；1＋＋＜1＋＋＋照此规律，第五个不等式是___
答案：1＋＋＋
2. 观察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；…；则a10＋b10
答案：123
解析：(解法1)由a＋b＝1；a2＋b2＝3得ab＝－1代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.
解法2)令an＝an＋bn，易得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为___
答案：1∶8
解析：考查类比的方法，＝＝所以体积比为1∶8.
4. (选修12p31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的。
答案：解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h，底面面积为s，正四面体sabc的内切球的半径为r，球心为o，连结os、oa、ob、oc，将四面体分成四个三棱锥，则vs abc＝vo sac＋vo sab＋vo sbc＋vo abc＝sr＋sr＋sr＋sr＝sr＝sh，所以r＝h.
5. (2013·镇江期末)观察下列等式：×＝1－，×1－，×1－，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈n
答案：1－1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4 , x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12 ….
则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为___
答案：80解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈n*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.
2. 若等差数列的公差为d，前n项的和为sn，则数列为等差数列，公差为。类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为q，前n项的积为tn，则数列{}为等比数列，公比为___
2023年高考数学总复习教案 7 3数学归纳法
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2023年高考数学总复习教案 9 7椭圆 2
第九章平面解析几何第7课时椭圆 2 1.已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为。答案 1 解析 e 2a 12，a 6，b 3，则所求椭圆方程为 1.2.已知f1 f2是椭圆c 1 a b 0 的两个焦点，p为椭圆c上一点，且 ...