第九章平面解析几何第7课时椭圆(2)
1. 已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为。
答案：＋＝1
解析：e＝，2a＝12，a＝6，b＝3，则所求椭圆方程为＋＝1.
2. 已知f1、f2是椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，p为椭圆c上一点，且⊥.若△pf1f2的面积为9，则b
答案：3解析：依题意，有。
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故b＝3.
3. 已知f是椭圆c的一个焦点，b是短轴的一个端点，线段bf的延长线交c于点d, 且＝2，则c的离心率为___
答案：解析：(解法1)如图，|bf|＝＝a.
作dd1⊥y轴于点d1，则由＝2，得＝＝，所以|dd1|＝|of|＝c，即xd＝，由椭圆的第二定义得|fd|＝e＝a－.又由|bf|＝2|fd|，得a＝2a－，即e＝.
解法2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b，b＞0)，设d(x2，y2)，f分 bd所成的比为2，xf＝ x2＝xf＝c；yf＝ y2＝＝＝代入·＋·1 e＝.
4. f1，f2是椭圆＋y2＝1的左右焦点，点p在椭圆上运动．则·的最大值是___
答案：1解析：设p(x，y)，依题意得f1(－，0)，f2(，0)，·x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2－2.
∵ 0≤x2≤4，∴ 2≤x2－2≤1.∴ 的最大值是1.
5. 已知f1、f2为双曲线c：x2－y2＝1的左、右焦点，点p在c上，∠f1pf2＝60°，则|pf1|·|pf2
答案：4解析：由余弦定理得。
cos∠f1pf2＝
cos60°＝
＝，即|pf1|·|pf2|＝4.
1. 椭圆的第二定义。
平面内动点p到定点f的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点f不在直线l上)的点的轨迹是椭圆．定点f是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．
2. 椭圆的焦半径。
1) 对于焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设p(x，y)是椭圆上任一点，则|pf1|＝a＋ex；|pf2|＝a－ex．
2) 对于焦点在y轴上的椭圆＋＝1(a＞b＞0)，设p(x，y)是椭圆上任一点，则|pf1|＝a＋ey；|pf2|＝a－ey.
题型1 求综合情况下椭圆的基本量。
例1 如图，f1、f2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点m在x轴上，且＝，过点f2的直线与椭圆交于a、b两点，且am⊥x轴，·＝0.
1) 求椭圆的离心率；
2) 若△abf1的周长为4，求椭圆的方程．
解：(1) 设f1(－c，0)，f2(c，0)，a(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则m，x0＝c.
＝e，∴ af1|＝a＋ex0.同理，|af2|＝a－ex0.
·＝0，∴ af1⊥af2， |af1|2＋|af2|2＝|f1f2|2， (a＋ex0)2＋(a－ex0)2＝4c2, 即a2＋e2x＝2c2.
x0＝c，∴ a2＋e2·c2＝2c2,
1＋e4＝2e2，即3e4－8e2＋4＝0， e2＝或2(舍)，∴椭圆的离心率e＝.
(2) ∵abf2的周长为4，∴ 4a＝4， a＝.又＝，∴c＝2, ∴b2＝2.
椭圆方程为＋＝1.
已知椭圆的右焦点f，左、右准线分别为l1：x＝－m－1，l2：x＝m＋1，且l1、l2分别与直线y＝x相交于a、b两点．
1) 若离心率为，求椭圆的方程；
2) 当·<7时，求椭圆离心率的取值范围．
解：(1) 由已知，得c＝m，＝m＋1，从而a2＝m(m＋1)，b2＝m.
由e＝，得b＝c，从而m＝1.
故a＝，b＝1，得所求椭圆方程为＋y2＝1.
2)易得a(－m－1，－m－1)，b(m＋1，m＋1)，从而＝(2m＋1，m＋1)，＝1，m＋1)，故·＝2m＋1＋(m＋1)2＝m2＋4m＋2<7，得0由此离心率e＝＝＝故所求的离心率取值范围为。
题型2 与椭圆第二定义有关的问题。
例2 设a、b分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x＝4是它的右准线．
1) 求椭圆的方程；
2) 设p为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线bp与椭圆相交于两点b、n，求证：∠nap为锐角．
1) 解：依题意，得解得从而b＝，故椭圆的方程为＋＝1 .
2) 证明：由(1)得a(－2，0)，b(2，0)，设n(x0，y0)， n点在椭圆上，∴ y＝(4－x)．又n点异于顶点a、b， －2∵ x0＋2>0，y0≠0，∴·0，于是∠nap为锐角．
如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：＋＝1(a>b>0)的左焦点为f，右顶点为a，动点m 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段fm交椭圆c于点p，已知椭圆c的离心率为，点m的横坐标为。
1) 求椭圆c的标准方程；
2) 设直线pa的斜率为k1，直线ma的斜率为k2，求k1·k2的取值范围．
解：(1) 由已知，得解得∴
椭圆c的标准方程为＋＝1.
2) 设点p(x1，y1)(－2∵点f、p、m三点共线，x1≠－2，＝，y2＝，点m.
k1＝，k2＝，k1·k2＝×＝
点p在椭圆c上，∴ 1，y ＝ x－9)．
k1·k2＝
－2∴k1·k2的取值范围是。
题型3 椭圆的综合问题。
例3 已知椭圆的中心为坐标原点o，椭圆短半轴长为1，动点m(2，t)(t>0)在直线x＝(a为长半轴，c为半焦距)上．
1) 求椭圆的标准方程；
2) 求以om为直径且被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2的圆的方程；
3) 设f是椭圆的右焦点，过点f作om的垂线与以om为直径的圆交于点n，求证：线段on的长为定值，并求出这个定值．
1) 解：由点m在准线上，得＝2，故＝2，∴ c＝1，从而a＝，所以椭圆方程为＋y2＝1.
2) 解：以om为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)2＋＝＋1，其圆心为，半径r＝，因为以om为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
3) 证明：设n(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝2，t)，＝x0－2，y0－t)，＝x0，y0)．
⊥，2(x0－1)＋ty0＝0，∴ 2x0＋ty0＝2.
⊥，x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0，∴ x＋y＝2x0＋ty0＝2，∴ 为定值．
已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)，点a、b分别是椭圆c的左顶点和上顶点，直线ab与圆g：x2＋y2＝(c是椭圆的半焦距)相离，p是直线ab上一动点，过点p作圆g的两切线，切点分别为m、n.
1) 若椭圆c经过两点、，求椭圆c的方程；
2) 当c为定值时，求证：直线mn经过一定点e，并求·的值(o是坐标原点)；
3) 若存在点p使得△pmn为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．
1) 解：令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即椭圆方程为＋＝1.
2) 证明：直线ab：＋＝1，设点p(x0，y0)，则op的中点为，所以点o、m、p、n所在的圆的方程为＋＝，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝作差，即直线mn：
x0x＋y0y＝.
因为点p(x0，y0)在直线ab上，得＋＝1，所以x0＋＝0，即。
得x＝－，y＝，故定点e，＝·
3) 解：由直线ab与圆g：x2＋y2＝(c是椭圆的焦半距)相离，则＞，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.
因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－ ①连结on、om、op，若存在点p使△pmn为正三角形，则在rt△opn中，op＝2on＝2r＝c，所以≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以≤e2＜1 ②.
由①②得≤e2＜3－，所以≤e＜.
示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)
已知曲线c：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈r)．
1) 若曲线c是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
2) 设m＝4，曲线c与y轴的交点为a，b(点a位于点b的上方)，直线y＝kx＋4与曲线c交于不同的两点m，n，直线y＝1与直线bm交于点g.求证：a，g，n三点共线．
学生错解：解：(1) 曲线c是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2＜m＜5，所以m的取值范围是(2，5)．
2) 当m＝4时，曲线c的方程为x2＋2y2＝8，点a，b的坐标分别为(0，2)，(0，－2)．
由得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.
设点m，n的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，x1＋x2＝，x1x2＝.
直线bm的方程为y＋2＝x，点g的坐标为。
因为直线an和直线ag的斜率分别为kan＝，kag＝－，所以kan－kag＝＋＝k＋＝k＋＝0.
即kan＝kag.
故a，g，n三点共线．
审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；
2) 证明三点共线的常用方法．
规范解答： 解：(1) 曲线c是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)
2023年高考数学总复习教案 7 3数学归纳法
第七章推理与证明第3课时数学归纳法 对应学生用书 理 97 98页 1.若f n 1 n n 则n 1时，f n 答案 1 解析 当n 1时，f 1 1 2.选修22p88练习题3改编 用数学归纳法证明不等式 2n n2 1对于n n0的自然数n都成立 时，第一步证明中的起始值n0应取为 答案 5解...
2023年高考数学总复习教案 7 3数学归纳法
第七章推理与证明第3课时数学归纳法 对应学生用书 理 97 98页 1.若f n 1 n n 则n 1时，f n 答案 1 解析 当n 1时，f 1 1 2.选修22p88练习题3改编 用数学归纳法证明不等式 2n n2 1对于n n0的自然数n都成立 时，第一步证明中的起始值n0应取为 答案 5解...
高考数学总复习教案 9 6椭圆 1
第九章平面解析几何第6课时椭圆 1 1.设 是椭圆 上的点 若f1 f2是椭圆的两个焦点，则 pf1 pf2 答案 10解析 pf1 pf2 2a 10.2.椭圆 1的离心率为 答案 解析 a 4，b 2，c 2，e 3.选修11p26习题3改编 已知 abc的顶点b c在椭圆 y2 1上，顶点a与...