第九章平面解析几何第6课时椭圆(1)
1. 设ρ是椭圆＋上的点．若f1、f2是椭圆的两个焦点，则|pf1|＋|pf2
答案：10解析：|pf1|＋|pf2|＝2a＝10.
2. 椭圆＋＝1的离心率为___
答案：解析：a＝4，b＝2，c＝＝2，e＝＝.
3. (选修11p26习题3改编)已知△abc的顶点b、c在椭圆＋y2＝1上，顶点a与椭圆的焦点f1重合，且椭圆的另外一个焦点f2在bc边上，则△abc的周长是___
答案：4解析：ab＋bc＋ca＝bf1＋(bf2＋cf2)＋cf1＝(bf1＋bf2)＋(cf2＋cf1)＝4a＝4.
4. (选修11p31习题4改编)方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是。
答案：k＞3
解析：方程＋＝1表示椭圆，则 k＞3.
5. 已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是___
答案：＋＝1
解析：∵ 2c＝8，∴ c＝4，∴ e＝＝＝故a＝8.
又∵ b2＝a2－c2＝48，∴ 椭圆的方程为＋＝1.
1. 椭圆的定义。
平面内到两个定点f1、f2的距离之和等于常数(大于f1f2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点f1、f2间的距离叫做椭圆的焦距．
2. 椭圆的标准方程和几何性质。
题型1 求椭圆的方程。
例1 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点p(4，1)在椭圆上，求该椭圆的方程．
解：设该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0)，依题意，2a＝2(2b) a＝2b.由于点p(4，1)在椭圆上，所以＋＝1或＋＝1.
解得b2＝5或，这样a2＝20或65，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
根据下列条件求椭圆的标准方程：
1) 两准线间的距离为，焦距为2；
2) 已知p点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点p 到两焦点的距离分别为和，过p点作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点．
解：(1) 设椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
2) 由题设，2a＝|pf1|＋|pf2|＝2 a＝.又＝ b2＝，故该椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
题型2 求椭圆离心率的值。
例2 在平面直角坐标系中，有椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以o为圆心，a为半径的圆．过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e
答案：解析：如题图，pa、pb与圆o相切，由于切线pa、pb互相垂直，所以四边形oapb为正方形，op＝oa，这样就得到一个关于基本量a、c的齐次方程，从而求解出比值(e)的值．由已知条件，四边形oapb为正方形，所以op＝oa，所以＝a，解得＝，即e＝.
在△abc中，∠acb＝60°，sina∶sinb＝8∶5，则以a、b为焦点且过点c的椭圆的离心率为___
答案：解析：由题意e＝＝＝sina∶sinb＝8∶5，∴ 由正弦定理得a∶b＝8∶5.
设a＝8k，b＝5k，∴ 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosc，∴ c＝7k，∴ e＝＝.
题型3 求椭圆离心率的取值范围。
例3 椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点f，其右准线与x轴的交点为a，在椭圆上存在点p满足线段ap的垂直平分线过点f，则椭圆离心率的取值范围是___
答案：解析：(解法1)由题意，椭圆上存在点p，使得线段ap的垂直平分线过点f，所以|pf|＝|fa|，而|fa|＝－c，|pf|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a2≤ac＋2c2.
又e＝，所以2e2＋e≥1，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0(解法2)设点p(x，y)．由题意，椭圆上存在点p，使得线段ap的垂直平分线过点f，所以|pf|＝|fa|，由椭圆第二定义，＝e，所以|pf|＝e－ex＝a－ex，而|fa|＝－c，所以a－ex＝－c，解得x＝(a＋c－)．由于－a≤x≤a，所以－a≤(a＋c－)≤a.又e＝，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.
又0设f1、f2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点p，使线段pf1的中垂线过点f2，则椭圆的离心率的取值范围是___
答案：解析：设p，线段f1p的中点q的坐标为，则直线f1p的斜率kf1p＝，当直线qf2的斜率存在时，设直线qf2的斜率为kqf2＝(b2－2c2≠0)，由kf1p·kqf2＝－1得y2＝≥0，但注意到b2－2c2≠0，故2c2－b2＞0，即3c2－a2＞0，即e2＞，故＜e＜1.
当直线qf2的斜率不存在时，y＝0，f2为线段pf1的中点．由－c＝2c得e＝，综上得≤e＜1.
示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)
若椭圆＋＝1的焦距为2，求椭圆上的一点到两个焦点的距离之和．
学生错解：解：∵ 2c＝2，即c＝1，∴m－4＝1，∴a＝，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2.
审题引导： (1) 椭圆的定义；
2) 椭圆中参数a，b，c满足a2－b2＝c2；
3) 焦点在x轴与焦点在y轴上的椭圆的标准方程的区别．
规范解答： 解：∵ 2c＝2，即c＝1，(4分)
当焦点在x轴上时，m－4＝1，∴ a＝，(6分)
则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2；(8分)
同理，当焦点在y轴上时，4－m＝1，∴ b＝，a＝2，(10分)
则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4，(12分)
椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为2或4.(14分)
错因分析： 本题考查了椭圆的定义及标准方程，易错原因是忽略椭圆焦点位置对参数的影响．当椭圆焦点位置不确定时，一般要分类讨论．
1. 椭圆＋＝1的焦点为f1、f2，点p为椭圆上的动点，当∠f1pf2为钝角时，求点p的横坐标x0的取值范围．
解：由题意f1(－，0)，f2(，0)，设p(x0，y0)，则1＝(－x0，－y0)， 2＝(－x0，－y0)，∴1·2＝x－5＋y<0.①
又＋＝1，② 由①②得x<， 2. 椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为___
答案：－或21
解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.
3. 已知f1、f2是椭圆c的左、右焦点，点p在椭圆上，且满足pf1＝2pf2，∠pf1f2＝30°，则椭圆的离心率为___
答案：解析：在△pf1f2中，由正弦定理得sin∠pf2f1＝1，即∠pf2f1＝，设pf2＝1，则pf1＝2，f2f1＝，所以离心率e＝＝.
4. 已知椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，f为椭圆的右焦点，m、n两点在椭圆c上，且＝λ(0)，定点a(－4，0)．
1) 求证：当λ＝1时，⊥；
2) 若当λ＝1时，有·＝，求椭圆c的方程．
1) 证明：设m(x1，y1)，n(x2，y2)，f(c，0)，则＝(c－x1，－y1)，＝x2－c，y2)．当λ＝1时，＝，y1＝y2，x1＋x2＝2c.∵ m、n两点在椭圆c上，∴ x＝a2，x＝a2，∴ x＝x.
若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c(舍去)，∴x1＝x2，∴ 0，2y2)，＝c＋4，0)，∴0，∴
2) 解：当λ＝1时，由(1)知x1＝x2＝c， m，n， ＝c＋4)2－＝.
＝，a2＝c2，b2＝，代入(*)式得c2＋8c＋16＝，∴c＝2或c＝－(舍去)．∴a2＝6，b2＝2，∴ 椭圆c的方程为＋＝1.
5. 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆c的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
1) 求椭圆c的方程；
2) 已知点p(0，1)，q(0，2)．设m、n是椭圆c上关于y轴对称的不同两点，直线pm与qn相交于点t，求证：点t在椭圆c上．
1) 解：由题意知b＝＝.
因为离心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.
所以椭圆c的方程为＋＝1.
2) 证明：由题意可设m，n的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线pm的方程为y＝x＋1，①
直线qn的方程为y＝x＋2.②
证法1)联立①②解得x＝，y＝，即t.
由＋＝1可得x＝8－4y.
因为＋＝＝＝＝1，所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
证法2)设t(x，y)．联立①②解得x0＝，y0＝.
因为＋＝1，所以＋＝1.整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以点t坐标满足椭圆c的方程，即点t在椭圆c上．
1. 已知f1、f2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，a、b分别是此椭圆的右顶点和上顶点，p是椭圆上一点，o是坐标原点，op∥ab，pf1⊥x轴，f1a＝＋，则此椭圆的方程是。
答案：＋＝1
解析：由于直线ab的斜率为－，故直线op的斜率为－，直线op的方程为y＝－x.与椭圆方程联立得＋＝1，解得x＝±a.
根据pf1⊥x轴，取x＝－a，从而－a＝－c，即a＝c.又f1a＝a＋c＝＋，故c＋c＝＋，解得c＝，从而a＝.所以所求的椭圆方程为＋＝1.
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