高考总复习·数学理(新课标b)
第一篇集合与常用逻辑用语。
第1讲集合的概念和运算。
2023年高考会这样考】
1．考查集合的交、并、补的基本运算，常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合．
2．利用集合运算的结果确定某个集合，主要是有限数集的基本运算，可用韦恩**决，多以选择题的形式进行考查．
考点梳理。1．集合的基本概念。
1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或表示．
3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
4)常用数集：自然数集n；正整数集n*(或n＋)；整数集z；有理数集q；实数集r.
5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
2．集合间的基本关系。
1)子集：对任意的x∈a，都有x∈b，则ab(或ba)．
2)真子集：若ab，且a≠b，则a b(或b a)．
3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即a， b(b≠)．
4)集合相等：若ab，且ba，则a＝b.
3．集合的基本运算及其性质。
1)并集：a∪b＝．
2)交集：a∩b＝．
3)补集：ua＝，u为全集，ua表示a相对于全集u的补集．
4)集合的运算性质。
a∪b＝aba，a∩b＝aab；
a∩a＝a，a∩＝；
a∪a＝a，a∪＝a；
a∩ua＝，a∪ua＝u，u(ua)＝a.
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常用一条性质。
若集合a中含有n个元素，则a的子集有2n个，a的真子集有2n－1个．
关注两个“易错点”
1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如ab，a∩b＝a，a∪b＝b中a＝的情况需特别注意；
2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．
考点自测。1．(2012·湖南)设集合m＝，n＝，则m∩n＝(
a． b． c． d．
解析由x2≤x，解得0≤x≤1，∴m∩n＝．
答案 b2．(2012·辽宁)已知全集u＝，集合a＝，集合b＝，则(ua)∩(ub)等于( )
a． b． c． d．
解析根据集合运算的性质求解．因为a∪b＝，所以(ua)∩(ub)＝u(a∪b)＝．
答案 b3．(2012·江西)若集合a＝，b＝，则集合中的元素的个数为( )
a．5 b．4 c．3 d．2
解析涉及集合中元素个数的问题，常用枚举法求解．本题可用枚举法求解：当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1，1，3，故所求集合为，共3个元素．
答案 c4．设全集u＝，集合a＝，b＝，则图中的阴影部分表示的集合为( )
a． b． c． d．
解析由题图可知阴影部分为集合(ua)∩b，∵ua＝，∴ua)∩b＝．
答案 d5．(2012·天津)已知集合a＝，集合b＝，且a∩b＝(－1，n)，则mn
解析 a＝，则a2 014＋b2 014
审题视点] 结合元素的互异性与集合相等入手．
解析由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 014＋b2 014＝1.
答案 1(1)利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但仍然要检验，看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征．
2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等，元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验．
训练1】 集合中含有的元素个数为( )
a．4 b．6 c．8 d．12
解析令x＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12代入验证得x＝1，2，3，4，6，12时，∈z，故集合中有6个元素．
答案 b考向二集合间的基本关系)
例2】已知集合a＝，b＝，b＝(－a)，若ab，则实数a的取值范围是(c，＋∞其中c
解析 a＝＝，b＝．若(ua)∩b＝，则m的值是___
审题视点] 本题中的集合a，b均是一元二次方程的解集，其中集合b中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(ua)∩b＝对集合a，b的关系进行转化．
解析 a＝，由(ua)∩b＝，得ba，方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴b≠.
b＝或b＝或b＝．
若b＝，则m＝1；
若b＝，则应有－(m＋1)＝(2)＋(2)＝－4，且m＝(－2)·(2)＝4，这两式不能同时成立，∴b≠；
若b＝，则应有－(m＋1)＝(1)＋(2)＝－3，且m＝(－1)·(2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
m＝1或2.
答案 1或2
本题的主要难点有两个：一是集合a，b之间关系的确定；二是对集合b中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过venn图进行直观的分析不难找出来，如a∪b＝aba，(ua)∩b＝ba等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．
训练3】 (1)(2012·陕西)集合m＝，n＝，则m∩n＝(
a．(1，2) b．[1，2)
c．(1，2] d．[1，2]
2)(2012·山东)已知全集u＝，集合a＝，b＝，则(ua)∪b为( )
a． b．
c． d．解析 (1)由题意得m＝(1，＋∞n＝[－2，2]，故m∩n＝(1，2]．
2)∵ua＝，b＝，∴ua)∪b＝．
答案 (1)c (2)c
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