2024年高考数学总复习椭圆新人教。
1.(文)(2013·东莞模拟)设p是椭圆＋＝1上的点，若f1、f2是椭圆的两个焦点，则|pf1|＋|pf2|等于( )
a．4 b．5
c．8 d．10
答案] d解析] ∵a2＝25，∴a＝5，∴|pf1|＋|pf2|＝2a＝10.
理)(2013·浙江五校联考)椭圆＋＝1的左、右焦点分别为f1、f2，一直线过f1交椭圆于a、b两点，则△abf2的周长为( )
a．32 b．16
c．8 d．4
答案] b解析] 由题设条件知△abf2的周长为|af1|＋|af2|＋|bf1|＋|bf2|＝4a＝16.
2．(文)(2013·岳阳月考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
a．－21 b．21
c．－或21 d.或21
答案] c解析] 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝即＝，得k＝－；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.
理)(2013·广东省江门市模拟)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为b1、b2，焦点为f1、f2，若四边形b1f1b2f2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于( )
a. b.
c. d．以上都不是。
答案] a解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e＝＝cos45°＝，故选a.
3．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )
a．充分而不必要条件
b．必要而不充分条件。
c．充要条件
d．既不充分也不必要条件。
答案] c解析] ∵方程mx2＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：，m>n>0，故互为充要条件．
4．(文)(2013·抚顺六校检测)椭圆＋y2＝1的焦点为f1，f2，点m在椭圆上，·＝0，则m到y轴的距离为( )
a. b.
c. d.
答案] b分析] 条件·＝0，说明点m在以线段f1f2为直径的圆上，点m又在椭圆上，通过方程组可求得点m的坐标，即可求出点m到y轴的距离．
解析] 椭圆的焦点坐标是(±，0)，点m在以线段f1f2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得＋3－x2＝1，解得x2＝，即|x|＝，此即点m到y轴的距离．
点评] 满足·＝0(其中a，b是平面上两个不同的定点)的动点m的轨迹是以线段ab为直径的圆．
理)(2013·河北石家庄一模)已知椭圆＋＝1的焦点分别是f1，f2，p是椭圆上一点，若连接f1，f2，p三点恰好能构成直角三角形，则点p到y轴的距离是( )
a. b．3
c. d.
答案] a解析] f1(0，－3)，f2(0,3)，∵3<4，∠f1f2p＝90°或∠f2f1p＝90°.
设p(x,3)，代入椭圆方程得x＝±.
即点p到y轴的距离是。
5．(文)(2013·山东淄博重点中学期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆方程为( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋＝1 d.＋＝1
答案] d解析] 2a＝12，∴a＝6，∵e＝＝，c＝2，∴b2＝a2－c2＝32，故选d.
理)(2013·长沙模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆c：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
a.＋＝1 b.＋＝1
c.＋y2＝1 d.＋＝1
答案] a解析] 由x2＋y2－2x－15＝0得，(x－1)2＋y2＝16，r＝4，∴2a＝4，∴a＝2，e＝＝，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.故选a.
6．(文)(2013·银川二模)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且a>b，则椭圆＋＝1的离心率e等于( )
a. b.
c. d.
答案] c解析] 由题意可知，又因为a>b，所以解得，所以椭圆的半焦距为c＝，所以椭圆的离心率e＝＝，故选c.
理)(2013·杭州二检、江西七校联考)如下图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点p变轨进入以月球球心f为一个焦点的椭圆轨道ⅰ绕月飞行，之后卫星在p点第二次变轨进入仍以f为一个焦点的椭圆轨道ⅱ绕月飞行，最终卫星在p点第三次变轨进入以f为圆心的圆形轨道ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道ⅰ和ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道ⅰ和ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④ 其中正确式子的序号是( )
a．①③b．②③
c．①④d．②④
答案] b解析] 给出图形的题目，要充分利用图形提供的信息解题．
p点既在椭圆ⅰ上，又在椭圆ⅱ上，且f是椭圆ⅰ和ⅱ的同一侧的焦点，∴|pf|＝a－c，即a1－c1＝a2－c2，故②正确；
由a1－c1＝a2－c2得a1－a2＝c1－c2，c1＝a1－a2＋c2，c1a2－a1c2＝(a1－a2＋c2)a2－a1c2＝(a1－a2)a2＋(a2－a1)c2＝(a1－a2)(a2－c2)，又∵从图中可以看出，a1>a2，a2>c2，∴c1a2－a1c2>0，即c1a2>a1c2，故③正确，故选b.
7．(文)(2013·南京模拟)已知p是以f1，f2为焦点的椭圆＋＝1(a>b>0)上的一点，若·＝0，tan∠pf1f2＝，则此椭圆的离心率为___
答案] 解析] ∵0，∴pf1⊥pf2，在rt△pf1f2中，tan∠pf1f2＝＝，设|pf2|＝x，则|pf1|＝2x，由椭圆的定义|pf1|＋|pf2|＝2a，∴x＝，|pf1|2＋|pf2|2＝|f1f2|2，∴x2＋4x2＝4c2，a2＝4c2，∴e＝＝.
理)已知＋＝1(m>0，n>0)，则当mn取得最小值时，椭圆＋＝1的离心率是___
答案] 解析] ∵m>0，n>0
1＝＋≥2，mn≥8，当且仅当＝，即n＝2m时等号成立，由，解得m＝2，n＝4.
即当m＝2，n＝4时，mn取得最小值8，离心率e＝＝.
8．(文)已知实数k使函数y＝coskx的周期不小于2，则方程＋＝1表示椭圆的概率为___
答案] 解析] 由条件≥2，∴－k≤π，当0∴概率p＝.
理)(2010·深圳市调研)已知椭圆m：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，m包含于平面区域ω：内，向ω内随机投一点q，点q落在椭圆m内的概率为，则椭圆m的方程为___
答案] ＋1
解析] 平面区域ω：是一个矩形区域，如下图所示，依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.
因为0所以a＝2，b＝.
所以，椭圆m的方程为＋＝1.
9．(2013·湖南长沙一中月考)直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交a、b两点，点c是椭圆上的动点，则△abc面积的最大值为。
答案] 解析] 设与l平行的直线方程为x－y＋a＝0，当此直线与椭圆的切点为c时，△abc的面积最大，将y＝x＋a代入＋y2＝0中整理得，3x2＋4ax＋2(a2－1)＝0，由δ＝16a2－24(a2－1)＝0得，a＝±，两平行直线x－y＝0与x－y＋＝0的距离d＝，将y＝x代入＋y2＝1中得，x1＝－，x2＝，|ab
s△abc＝|ab|·d＝××
10．(文)(2010·360题库网全国文)设f1、f2分别是椭圆e：x2＋＝1(0(1)求|ab|；
2)若直线l的斜率为1，求b的值．
解析] (1)由椭圆定义知|af2|＋|ab|＋|bf2|＝4，又2|ab|＝|af2|＋|bf2|，得|ab|＝.
2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.
设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a，b两点坐标满足方程组。
化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线ab的斜率为1，所以|ab|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
解得b＝.理)(2013·北京文，19)已知椭圆g：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆g交于a，b两点，以ab为底边作等腰三角形，顶点为p(－3,2)．
1)求椭圆g的方程；
2)求△pab的面积．
解析] (1)由已知得，c＝2，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆g的方程为＋＝1.
2)设直线l的方程为y＝x＋m
由得。4x2＋6mx＋3m2－12＝0
设a、b的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1x0＝＝－y0＝x0＋m＝.
因为ab是等腰△pab的底边，所以pe⊥ab，所以pe的斜率k＝＝－1.
解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|ab|＝3，此时，点p(－3,2)到直线ab：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△pab的面积s＝|ab|·d＝.
11.(文)(2013·安徽省皖北联考)椭圆＋＝1上一点p与椭圆的两个焦点f1、f2的连线互相垂直，则△pf1f2的面积为( )
a．20 b．22
c．24 d．28
答案] c解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点p在以线段f1f2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝25，代入椭圆方程得y2＝，即|y|＝，所以s△pf1f2＝×10×＝24，故选c.
点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|pf1|＋|pf2|＝14 (1)由△pf1f2为直角三角形及c＝＝5得|pf1|2＋|pf2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|pf1|·|pf2|＝48，∴s△pf1f2＝|pf1|·|pf2|＝24.
理)(2013·河北唐山市二模)p为椭圆＋＝1上一点，f1、f2为该椭圆的两个焦点，若∠f1pf2＝60°，则·等于( )
a．3 b.
c．2 d．2
答案] d
解析] 由题意可得|f1f2|＝2，|pf1|＋|pf2|＝4，f1f2|2＝|pf1|2＋|pf2|2－2|pf1||pf2|·cos60°
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