考点38 椭圆。
一、选择题。
1.（2011·新课标全国高考文科·ｔ4）椭圆的离心率为（ ）
a. b. c. d.
思路点拨】通过方程确定的值，离心率。
精讲精析】选d 由题意。
2.（2011·新课标全国高考理科·ｔ14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线l交c于两点，且的周长为16，那么的方程为 .
思路点拨】的周长为，求得的值，再由离心率求得的值，可得椭圆的方程。
精讲精析】 由＝16,得，又知离心率为，即，进而，所以，， c的方程为。
3.（2011·浙江高考理科·ｔ17）设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若；则点的坐标是 .
思路点拨】设出a点坐标，利用题目条件建立方程即可， 注意把转化为坐标关系。
精讲精析】解法一：设直线的反向延长线与椭圆交于点，又∵，由椭圆的对称性可得，设，又∵，解之得，∴点a的坐标为。
解法二：椭圆的焦点分别为，设a点坐标为，b点坐标为（p,t）则，即，，故，且，由上面两式解得。
即点的坐标是(0,).
二、解答题。
4.（2011·天津高考理科·t18）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左、右焦点．已知△为等腰三角形．
ⅰ）求椭圆的离心率；
ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
思路点拨】由等腰三角形建立等式关系求出离心率；联立直线和椭圆的方程，表示出a、b的坐标，再由向量等式关系化简整理得到轨迹方程。
精讲精析】 （i）【解析】设由题意，可得，即整理得（舍），或所以。
ii）【解析】由（i）知可得椭圆方程为直线pf2方程为a，b两点的坐标满足方程组消去y并整理，得。
解得得方程组的解。
不妨设，设点m的坐标为，于是，由。
即，化简得。
将所以。因此，点m的轨迹方程是。
5.（2011·天津高考文科·ｔ18）设椭圆的左、右焦点分别为f1，f2.点满足。
（ⅰ）求椭圆的离心率；
（ⅱ）设直线pf2与椭圆相交于a，b两点，若直线pf2与圆相交于m，n两点，且，求椭圆的方程。
思路点拨】利用椭圆的几何性质、点到直线、两点间的距离公式，直线于圆的位置关系等知识求解。
精讲精析】 （解析】设，因为，所以，整理得（舍）或。
（ⅱ）解析】由（ⅰ）知，可得椭圆方程为，直线ff2的方程为a，b两点的坐标满足方程组消去并整理，得。解得，得方程组的解。
不妨设，所以于是。
圆心到直线pf2的距离，
整理得，得（舍），或所以椭圆方程为。
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