考点36 椭圆。
1）了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质。
3）理解数形结合的思想。
4）了解椭圆的简单应用。
一、椭圆的定义。
平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作。
定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆。
二、椭圆的标准方程。
焦点在轴上，；
焦点在轴上，.
说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.
三、椭圆的图形及其简单几何性质。
i)图形。焦点在轴上焦点在轴上。
ii)注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程。
求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围。
四、必记结论。
1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，p点在短轴端点处；当时，有最大值a，p点在长轴端点处．
2．已知过焦点f1的弦ab，则的周长为4a．
考向一椭圆定义的应用。
1．椭圆定义的集合语言： 往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理。
以椭圆上一点和焦点f1 (－c，0)，f2 (c，0)为顶点的中，若，注意以下公式的灵活运用：
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解。
典例1 已知f1，f2是椭圆的两个焦点，点p在椭圆上．
1）若点p到焦点f1的距离等于1，则点p到焦点f2的距离为。
2）过f1作直线与椭圆交于a，b两点，则的周长为。
3）若，则点p到焦点f1的距离为。
答案】（1）3；（2）8；（3）．
解析】由椭圆的标准方程可知：，故，，．
1）由椭圆的定义可得|pf1|＋|pf2|＝2a，又|pf1|＝1，所以|pf2|＝4－1＝3．
2）的周长。
3）在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得．
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的周长为，则的值是。
a． b．
c． d．
考向二求椭圆的标准方程。
求椭圆的方程有两种方法：
1）定义法。根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程。
2）待定系数法。这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：
第一步，做判断。根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.
第二步，设方程。根据上述判断设方程为或。
第三步，找关系。根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.
第四步，得椭圆方程。解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为。
典例2 椭圆以x轴和y轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的方程为。
a． b．
c．或 d．或。
答案】c解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2倍，即有a=2b，又椭圆经过点(2，0)，则若焦点在x轴上，则a =2，b=1，椭圆方程为；
若焦点在y轴上，则a=4，b=2，椭圆方程为，故选c．
2．已知是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于两点，且，则的方程为。
a． b．
c． d．
考向三椭圆的几何性质及应用。
1．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了。
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
1）求出a，c，代入公式。
2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.
典例3 已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，则此椭圆的离心率为。
a． b．c． d．
答案】b解析】由题意，得椭圆的标准方程为＋＝1，∴a2＝，b2＝，∴c2＝a2－b2＝，e2＝＝，即e＝.故选b．
3．已知椭圆 (a＞b＞0)的两焦点分别为f1，f2，若椭圆上存在点p，使得∠f1pf2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是___
1．椭圆：的焦距为。
a． b．2
c． d．1
2．“”是“方程表示椭圆”的。
a．充要条件 b．充分不必要条件。
c．必要不充分条件 d．既不充分也不必要条件。
3．已知椭圆上的一点到左焦点的距离为，点是线段的中点，为坐标原点，则。
a． b．c． d．
4．已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为。
ab． cd．
5．已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长是短轴长的倍，抛物线的焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为。
a． b．
c．或 d．或。
6．已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(，1)，则实数m的取值范围是。
a．(0，) b．(，
c．(0d．(，1)∪(1，)
7．已知点，.若椭圆上存在点，使得为等边三角形，则椭圆的离心率是。
ab． cd．
8．若椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为右顶点，过右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于点，则。
ab． cd．
9．已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则的面积为。
a．1 b．
c．2 d．4
10．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为。
a． b．
c． d．
11．已知是椭圆的右焦点，是椭圆短轴的一个端点，若为过的椭圆的弦的三等分点，则椭圆的离心率为。
ab． cd．
12．已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为。
a． b．
c． d．
13．已知、为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在四个不同点满足的面积为，则椭圆的离心率的取值范围为。
ab． cd．
14．若椭圆的一个焦点坐标为(0，2)，则实数。
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若以为直径的圆与椭圆相切，则椭圆的长轴长是。
16．已知f1，f2为椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若为正三角形，则椭圆的离心率为 .
17．如图，a，b分别为椭圆的左、右顶点，点p在椭圆上，是面积为4的等腰直角三角形，则b= .
18．在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为。
19．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。若椭圆c的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆c的离心率为，面积为，则椭圆c的标准方程为___
20．设分别为椭圆的右顶点和上顶点，已知椭圆过点，当线段长最小时椭圆的离心率为___
21．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1）焦点分别为(0，-2)，(0，2)，经过点(4，3);
2）对称轴为坐标轴，经过点p(-6，0)和q(0，8).
22．已知椭圆c的方程为。
1）求k的取值范围；
2）若椭圆c的离心率，求的值。
23．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆长轴长为。
1）求椭圆的标准方程；
2）为椭圆上一点，且，求的面积。
24．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：（a＞b＞0）的焦距为2．
1）若椭圆c经过点（，1），求椭圆c的标准方程；
2）设a（﹣2，0），f为椭圆c的左焦点，若椭圆c上存在点p，满足，求椭圆c的离心率的取值范围．
25．如图，过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，点和点分别为椭圆的右顶点和上顶点，．
1）求椭圆的离心率；
2）过右焦点作一条弦，使，若的面积为，求椭圆的方程．
1．（2017浙江）椭圆的离心率是。
a． b．
c． d．
2．（2018新课标全国ⅰ文）已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为。
a． b．
c． d．
3．（2023年高考全国ⅱ卷文数）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
a．2 b．3
c．4 d．8
4．（2023年高考全国ⅰ卷文数）已知椭圆c的焦点为，过f2的直线与c交于a，b两点．若，，则c的方程为。
ab． cd．
5．（2017新课标全国ⅲ文）已知椭圆c：的左、右顶点分别为a1，a2，且以线段a1a2为直径的圆与直线相切，则c的离心率为。
a． b．
c． d．
6．（2017新课标全国ⅰ文）设a，b是椭圆c：长轴的两个端点，若c上存在点m满足∠amb=120°，则m的取值范围是。
a． b．
c． d．
7．（2018新课标全国ⅱ文）已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为。
a． b．
cd． 8．（2023年高考全国ⅲ卷文数）设为椭圆c: 的两个焦点，m为c上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则m的坐标为。
9．（2023年高考浙江卷）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是。
2023年高考数学考点38椭圆
考点38 椭圆。一 选择题。1.2011 新课标全国高考文科 4 椭圆的离心率为 a.b.c.d.思路点拨 通过方程确定的值，离心率。精讲精析 选d 由题意。2.2011 新课标全国高考理科 14 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线l交c于两点，且的周长为16，那么...
考点04代词 备战2023年高考英语考点一遍过
考点04 代词。命题解读 冠词是历年高考的必考点，常出现在语篇型语法填空和短文改错中。但从整套试题来看，在短文改错 书面表达 阅读理解等题型中对冠词的隐性考查可谓无处不在。在日常交际中，几乎每说一句话 每写一篇日记 每读一篇文章都会涉及冠词的运用。故不论高考的考查形式如何变化，冠词仍应是高考复习的重...
2023年高考备战英语
2014年高考备战 高考英语全年复习规划表。第一轮。80天 任务。以涵盖单元考点为准，每周一次同步过关。注重背诵课文单词，以单元为单位。同步课本复习语法。独门技巧。准备一本权威的英汉词典，背诵课本单词时参考词典。因为词典是以字母顺序排序，同一个词根其各种词形变化都是连在一起的，考生可通过比较来背诵。...