2023年高考数学真题之数列汇编。
1． （2023年高考山东卷理科22）(本小题满分14分)
已知函数。ⅰ)当时，讨论的单调性；
ⅱ）设当时，若对任意，存在，使。
求实数取值范围。 [**：z+xx+
解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。
解：（ⅰ因为，所以，令 ，①当时，恒成立，此时，函数在上单调递减；
②当，时，，此时，函数单调递减；
时，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减；
③当时，由于，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增。
综上所述：ⅱ）因为a=，由（ⅰ）知， =1， =3，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在（0，2）上的最小值为。
由于“对任意，存在，使”等价于。
在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*
又=，，所以。
当时，因为，此时与（*）矛盾。
当时，因为，同样与（*）矛盾。
当时，因为，解不等式8-4b，可得。
综上，b的取值范围是。
命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。
2．（2023年高考福建卷理科20）（本小题满分14分）
ⅰ）已知函数，。
i）求函数的单调区间；
ii）证明：若对于任意非零实数，曲线c与其在点处的切线交于另一点。
曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段。
ⅱ）对于一般的三次函数（ⅰ）ii）的正确命题，并予以证明。
命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
解析】（ⅰi）由得=，当和时，；
当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。
ii）曲线c与其在点处的切线方程为。
得，即，解得，进而有。
用代替，重复上述计算过程，可得。
和，又，所以。
因此有。ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（ⅰ）ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点。
曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段。
证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得。
故。3. （21）(2023年高考天津卷理科21)（本小题满分14分）
已知函数f(x)=xe-x（xr）.
ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(ⅲ)如果且证明。
命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
解析】（ⅰ解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表。
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令f(x)=f(x)-g(x),即。
于是。当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数f（x）在[1,+∞是增函数。
又f(1)= f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).
)证明：（1）
若。2）若。
根据（1）（2）得。
由（ⅱ）可知， >则=，所以》,从而》.因为，所以，又由（ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞1）内事增函数，所以》,即》2.
4. (2023年高考数学湖北卷理科17）（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
ⅰ）求的值及的表达式；
ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用达到最小，并求最小值．
5. (2023年高考数学湖北卷理科21） (本小题满分14分)
已知函数f(x)=ax++c(a＞0)的图象在点（1,f(1)）处的切线方程为y=x-1.
ⅰ)用a表示出b,c;
ⅱ)若f(x)＞㏑x在[1,∞]上恒成立，求a的取值范围；
ⅲ)证明：1+++n+1)+)n≥1).
6. (2023年高考湖南卷理科20)（本小题满分13分）
已知函数。ⅰ）证明：当。
ⅱ）若对满足题设条件的任意b,c，不等式恒成立，求m的最小值。
7. （2023年高考安徽卷理科17）（本小题满分12分）
设为实数，函数。
(ⅰ)求的单调区间与极值；
ⅱ)求证：当且时，。
8.（ 2023年高考全国卷i理科20）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数。ⅰ）若，求的取值范围；
ⅱ）证明： .
命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。
解析】20.解：
（ⅰ）题设等价于。
令，则。当，；当时，，是的最大值点，综上，的取值范围是。
ⅱ)有（ⅰ）知，即。
当时，；当时，所以。
9．（2023年高考四川卷理科22）（本小题满分14分）
设（且），g(x)是f(x)的反函数。
ⅰ）设关于的方程求在区间[2，6]上有实数解，求t的取值范围；
ⅱ）当a＝e（e为自然对数的底数）时，证明：；
ⅲ）当0＜a≤时，试比较与4的大小，并说明理由。
10．（2023年高考江苏卷试题20）（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有》0，使得，则称函数具有性质。
1)设函数，其中为实数。
i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。
2)已知函数具有性质。给定设为实数，，且，若||<求的取值范围。
解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
1）(i)
时，恒成立，函数具有性质；
ii)（方法一）设，与的符号相同。
当时， ，故此时在区间上递增；
当时，对于，有，所以此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有， ，故此时在区间上递增；
方法二）当时，对于，
所以，故此时在区间上递增；
当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而。
当时， ，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增。
综上所述，当时，在区间上递增；
当时，在上递减；在上递增。
2)（方法一）由题意，得：
又对任意的都有》0，所以对任意的都有，在上递增。
又。当时，，且，综合以上讨论，得：所求的取值范围是（0，1）。
方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，，从而在区间上单调递增。
当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有||<符合题设。
当时，于是由及的单调性知，所以||≥与题设不符。
当时，同理可得，进而得||≥与题设不符。
因此综合①、②得所求的的取值范围是（0，1）。
11. (2023年全国高考宁夏卷21）（本小题满分12分）
设函数。1） 若，求的单调区间；
2） 若当时，求的取值范围。
21）解：1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加。
ii）由（i）知，当且仅当时等号成立。故，从而当，即时，，而，于是当时，.
由可得。从而当时，故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为。
12．（2023年高考陕西卷理科21）(本小题满分14分)
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，ar。[**：学科网zxxk][**：学科网]
1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
3） 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.
解 （1）f’(x)= g’(x)= x>0),由已知得 =alnx，， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为k=f’(e2)=,切线的方程为y-e= (x- e2).
1） 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x《时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以φ（a）=h()=2a-aln=2
2）当a≤0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值φ（a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
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