2024年高考数学复习

2024年高考数学复习：直线与圆的位置关系。

一、解答题。

1、如图，已知⊙o的半径为2，弦ab的长为2 3，点c是劣弧acb上任一点，（点c不与a、b重合），求∠acb．

解析：首先做出辅助线，连接b、a与圆心再在优弧上找一点d，做出角adb，根据直角三角形中三角函数的定义和特殊角的三角函数，写出锐角的值，根据同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，得到角d，根据圆内接四边形写出要求的结果．

解：连接oa、ob，过o作oe⊥ab，e为垂足，则ae=be．

在rt△aoe中，oa=2，ae= 12ab= 12×2 3= 3，sin∠aoe= aeoa= 32，∠aoe=60°，∠aob=2∠aoe=120°，在优弧 ab^上任取一点d（不与a、b重合），∠adb= 12∠aob=60°，∠acb=180°-∠adb=120°．

考点：本题考查圆内接四边形的性质，考查同弧所对的圆周角和圆心角之间的关系，考查直角三角形的性质，考查三角函数的定义，是一个比较简单的综合题目．

2、如图所示，已知⊙o1与⊙o2相交于a、b两点，过点a作⊙o1的切线交⊙o2于点c，过点b作两圆的割线，分别交⊙o1、⊙o2于点d、e，de与ac相交于点p．

i）求证：ad∥ec；

ii）若ad是⊙o2的切线，且pa=6，pc=2，bd=9，求ad的长。

解析：（i）连接ab，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠bac=∠d，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠bac=∠e，等量代换得到∠d=∠e，根据内错角相等得到两直线平行即可；

ii）根据切割线定理得到pa2=pbpd，求出pb的长，然后再根据相交弦定理得papc=bppe，求出pe，再根据切割线定理得ad2=dbde=db（pb+pe），代入求出即可．

解：（i）证明：连接ab，ac是⊙o1的切线，∠bac=∠d，又∵∠bac=∠e，∠d=∠e，ad∥ec．

ii）∵pa是⊙o1的切线，pd是⊙o1的割线，pa2=pbpd，62=pb（pb+9）

pb=3，在⊙o2中由相交弦定理，得papc=bppe，pe=4，ad是⊙o2的切线，de是⊙o2的割线，ad2=dbde=9×16，ad=12

考点：此题是一道综合题，要求学生灵活运用直线与圆相切和相交时的性质解决实际问题．本题的突破点是辅助线的连接．

3、如图，ab是圆o的直径，弦bd、ca的延长线相交于点e，ef垂直ba的延长线于点f．

求证：∠dea=∠dfa．

解析：做出辅助线，根据ab是一条直径，得到它所对的圆周角是一个直角，根据两条直线垂直，得到它们所形成的角是一个直角，这样得到四边形两个相对的角互补，得到四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得到结论

证明：连接ad，∵ab为圆的直径，∠adb=90°，又ef⊥ab，∠efa=90°

a、d、e、f四点共圆．

∠dea=∠dfa．

考点：本题考查用综合法来证明几何问题，考查四点共圆的判定，考查同弧所对的圆周角相等，本题是一个比较简单的综合题目

4、如图，ab是圆o的直径，p为圆外一点，pb是圆o的切线，pa是圆o的割线且与圆o相交于点c．过点c作圆o的切线与pb交于d点．求证：

1）od∥ap；

2）pdpb=pcod．

解析；（1）连接oc及bc，因为pb和dc为圆o的切线，所以角obd和角ocd相等且都为直角，则三角形obd和三角形ocd都为直角三角形，由一对半径相等和一对公共边，利用“hl”的方法即可得到两直角三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得到角bod等于角cod都等于角boc的一半，又根据同弧所对的圆心角等于所对弧的圆周角的2倍，得到角oac也为角boc的一半，进而得到角bod等于角oac，根据同位角相等，两直线平行，即可得证；

2）根据切割线定理得到pb的平方等于pc与pa的积，由（1）得出的od与pa平行和o为ab的中点，得到d也为bp的中点（得到pb等于2pd），进而得到od为三角形bpa的中位线，根据中位线定理，得到pa等于2od，然后把切割线定理得到关系式中的pb和pa等量代换，约分化简后即可得证．

证明：（1）连接oc，bc，在△ocd和△obd中。

ocd=∠obd=90°，ob=oc，od=od，直角△ocd≌直角△obd，∠bod=∠cod= 12∠boc．①

又∠boc与∠bac分别是 bc^所对的圆心角和圆周角。

12∠boc=∠bac，②

由①②得∠bod=∠bac，od∥ap．

2）∵pb2=pcpa，③

由（1）知od∥ap，o为ab中点，do是△bpa的中位线，pa=2od，pb=2pd，代入③得。

2pdpb=pc2od，即pdpb=pcod．

考点：此题考查学生灵活运用“hl”的方法证明两直角三角形全等，掌握切线的性质及切割线定理，要求学生善于观察图形寻找角与角之间存在的关系，培养学生的逻辑思维能力，是一道中档题．

5、如图，四边形abcd内接于⊙o， ab^= ad^，过a点的切线交cb的延长线于e点．

求证：ab2=becd．

解析：根据圆的切线，得到圆周角等于同弧所对的弦切角，根据圆内接四边形的性质，得到一个内角等于不相邻的内角，有两个角相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，把比例式转化为等式得到结果．

证明：连接ac，ea切⊙o于a，∠eab=∠acb．

ab^= ad^，∠acd=∠acb，ab=ad．

于是∠eab=∠acd．

又四边形abcd内接于⊙o，∠abe=∠d．

△abe∽△cda．

于是 abcd= beda，即abda=becd．

ab2=becd．

考点：本题考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查圆内接四边形的性质，考查两个三角形相似的判定和性质，是一个比较简单的综合题目

6、如图，ab、cd是圆的两条平行弦，be∥ac，be交cd于e、交圆于f，过a点的切线交dc的延长线于p，pc=ed=1，pa=2．

i）求ac的长；

ii）求证：be=ef．

解析：（1）由pa是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得pd，再由角相等得三角形相似：△pac∽△cba，从而求得ac的长；

2）欲求证：“be=ef”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系

解：（i）∵pa2=pcpd，pa=2，pc=1，pd=4，又∵pc=ed=1，∴ce=2，∠pac=∠cba，∠pca=∠cab，△pac∽△cba，∴ pcac=acab，ac2=pcab=2，∴ ac=2（5分）

ii）∵ be=ac=2，ce=2，而ceed=beef， ef=212=2，∴ef=be．（10分）．

考点：本题主要考查与圆有关的比例线段、圆中的切割线定理以及相似三角形的知识，属于基础题．

7、如图，△abc是圆o的内接三角形，ac=bc，d为圆o中 ab^上一点，延长da至点e，使得ce=cd．

1）求证：ae=bd；

2）若ac⊥bc，求证：ad+bd= 2cd．

解析；（1）根据在△abc、△ecd中∠ace=∠bcd、ce=cd、ac=bc，可得到△ace≌△bcd，再根据对应边相等得到ae=bd，得证．

2）当ac⊥bc时，在△ecd中有∠ecd=90°，∠ced=∠cde=45°，进而可得到de= 2cd，再结合ad+bd=ad+ea=ed可知ad+bd= 2cd，从而得证

证明：（1）在△abc中，∠cab=∠cba．

在△ecd中，∠ced=∠cde．

∠cba=∠cde，∴∠acb=∠ecd．

∠acb-∠acd=∠ecd-∠acd．

∠ace=∠bcd．

又ce=cd，ac=bc，△ace≌△bcd．

ae=bd．

2）若ac⊥bc，∠acb=∠ecd，∠ecd=90°，∠ced=∠cde=45°．

de= 2cd．

又∵ad+bd=ad+ea=ed，ad+bd= 2cd．

考点；本题主要考查三角形的全等和直线与圆的位置关系．高考对直线与圆的方程的考查以基础题为主，平时要多积累基础知识，这样到考试时才不会手忙脚乱．

8、如图，a、b是两圆的交点，ac是小圆的直径，d和e分别是ca和cb的延长线与大圆的交点，已知ac=4，be=10，且bc=ad，求de的长．

考点：设cb=ad=x，由圆的割线定理列出关于x的方程，求出x的值即得到cd和ce的值，又因为ac为小圆的直径，则所对的圆周角∠cba等于90°即∠abe等于90°，然后根据圆内接四边形的对角互补得到∠d也等于90°，所以在直角三角形cde中，利用勾股定理即可求出de的长．

解：设cb=ad=x，则由割线定理，得cacd=cbce，即4（4+x）=x（x+10），化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8（舍去），即cd=6，ce=12，因为ca为直径，所以∠cba=90°，即∠abe=90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠d=90°，则cd2+de2=ce2，62+de2=122，de=6 3．

考点：此题考查学生灵活运用圆的内接四边形对角互补及直径所对的圆周角为直角的性质，灵活运用圆的割线定理化简求值，是一道中档题．

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