2023年高考数学专题复习。
椭圆。考纲要求】
一、考点回顾。
1. 椭圆的定义。
2. 椭圆的标准方程。
3. 椭圆的参数方程。
4 椭圆的简单几何性质。
5 点与椭圆的位置关系。
6 关于焦点三角形与焦点弦。
7 椭圆的光学性质。
8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法。
二典例剖析。
1 求椭圆的标准方程。
例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为。
（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆方程为。
例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且。
1）求椭圆的离心率。
2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。
例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点与椭圆交于两点，与轴交于点点，且。
1）若，求椭圆离心率的取值范围。
2）若，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程。
例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点。
1）求椭圆的方程。
2）若，求直线的方程。
3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点。
4）求的最大面积。
例5】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为，最小值为。
1）求椭圆的标准方程。
2）若直线与椭圆交于两点（不是左，右顶点）且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。
2 椭圆的性质。
例6】已知椭圆的两个焦点分别为，，在椭圆上存在一点，使得。
1）求椭圆离心率的取值范围。
2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。
注1】在方法二中，也可由得到②
注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的**有以下几种情况：
1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足；（3）；
4）椭圆内部的点满足；
例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。
1）求椭圆的离心率。
2）设为椭圆上任一点，若，求证：为定值。
例8】已知为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有。
1）椭圆的离心率。
2）设，，判断是否为定值？
例9】设是椭圆上的定点，过点作两条直线与椭圆分别交于两点（异于点）且满足直线与的倾斜角互补，求证：直线的斜率为定值。
3. 最值问题。
例10】已知是椭圆的左，右焦点以及两定点。
1）设为椭圆上一个动点。
求的最大值与最小值；②求的最大值与最小值。
2）过点作直线与椭圆交于两点，若为锐角（为原点），求直线的斜率的取值范围。
例11】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点， 为椭圆的右焦点，直线与交于点。
1）证明：点在椭圆上。
2）求面积的最大值。
例12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为，右顶点为，设，过原点的直线与椭圆交于两点，求的最大值。
例13】（08 山东）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记是以与坐标轴的交点为顶点的椭圆。
1）求椭圆的标准方程。
2）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点。 ①若（为坐标原点）当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程； ②若点是与椭圆的交点，求的最小面积。
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