第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理(对应学生用书(文)、(理)53～54页)
1. (必修5p10习题1.1第1(2)题改编)在△abc中，若∠a＝60°，∠b＝45°，bc＝3，则ac
答案：2解析：在△abc中，＝，ac＝＝＝2.
2. (必修5p24复习题第1(2)题改编)在△abc中，a＝，b＝1，c＝2，则a
答案：60°
解析：由余弦定理，得cosa＝＝＝0＜a＜π，a＝60°.
3. (必修5p17习题1.2第6题改编)在△abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，若a＝2bcosc，则此三角形一定是___三角形．
答案：等腰。
解析：因为a＝2bcosc，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，故此三角形一定是等腰三角形．
4. (必修5p17习题6改编)已知△abc的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2－c2＝ab，则∠c
答案：60°
解析：cosc＝＝＝0°＜c＜180°，∴c＝60°.
5. (必修5p11习题1.1第6(1)题改编)在△abc中，a＝3，b＝2，cosc＝，则△abc的面积为___
答案：4解析：∵ cosc＝，∴sinc＝， s△abc＝absinc＝×3×2×＝4.
1. 正弦定理：＝＝2r(其中r为△abc外接圆的半径)．
2. 余弦定理。
a2＝b2＋c2－2bccosa，b2＝a2＋c2－2accosb；c2＝a2＋b2－2abcosc或cosa＝，cosb＝，cosc＝.
3. 三角形中的常见结论。
1) a＋b＋c＝π.
2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：a>b a>b sina>sinb.
3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4) △abc的面积公式。
s＝a·h(h表示a边上的高)；
s＝absinc＝acsinb＝bcsina＝；
s＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)；
s＝，其中p＝(a＋b＋c)．
备课札记]题型1 正弦定理解三角形。
例1 在△abc中，a＝，b＝，b＝45°.求角a、c和边c.
解：由正弦定理，得＝，即＝， sina＝.
a>b，∴ a＝60°或a＝120°.
当a＝60°时，c＝180°－45°－60°＝75°，c＝＝；
当a＝120°时，c＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.
在△abc中，1) 若a＝4，b＝30°，c＝105°，则b
2) 若b＝3，c＝，c＝45°，则a
3) 若ab＝，bc＝，c＝30°，则∠a
答案：(1) 2 (2) 无解 (3) 45°或135°
解析：(1) 已知两角和一边只有一解，由∠b＝30°，∠c＝105°，得∠a＝45°.由正弦定理，得b＝＝＝2.
2) 由正弦定理得sinb＝＝>1，∴ 无解．
3) 由正弦定理＝，得＝，∴sina＝.
bc>ab，∴ a>c，∴ a＝45°或135°.
题型2 余弦定理解三角形。
例2 在△abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，且＝－.
1) 求角b的大小；
2) 若b＝，a＋c＝4，求△abc的面积．
解：(1) 由余弦定理知：cosb＝，cosc＝.将上式代入＝－，得。
＝－，整理得a2＋c2－b2＝－ac.∴ cosb＝＝－
b为三角形的内角，∴ b＝π.
2) 将b＝，a＋c＝4，b＝π代入b2＝a2＋c2－2accosb，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosb， 13＝16－2ac，∴ ac＝3.
s△abc＝acsinb＝.
2014·南京期末)在△abc中，角a、b、c所对的边分别是a、b、c，已知c＝2，c＝.
1) 若△abc的面积等于，求a、b；
2) 若sinc＋sin(b－a)＝2sin2a，求△abc的面积．
解：(1) 由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.
因为△abc的面积等于，所以absinc＝，得ab＝4.
联立方程组解得a＝2，b＝2.
2) 由题意得sin(b＋a)＋sin(b－a)＝4sinacosa，所以sinbcosa＝2sinacosa.
当cosa＝0时，a＝，所以b＝，所以a＝，b＝.
当cosa≠0时，得sinb＝2sina，由正弦定理得b＝2a，联立方程组解得a＝，b＝.
所以△abc的面积s＝absinc＝.
题型3 三角形形状的判定。
例3 在△abc中，a、b、c分别表示三个内角∠a、∠b、∠c的对边，如果(a2＋b2)sin(a－b)＝(a2－b2)sin(a＋b)，判断三角形的形状．
解：已知等式可化为a2[sin(a－b)－sin(a＋b)]＝
b2[－sin(a＋b)－sin(a－b)]，2a2cosasinb＝2b2cosbsina.
由正弦定理得sin2acosasinb＝sin2bcosbsina， sinasinb(sinacosa－sinbcosb)＝0，∴ sin2a＝sin2b.由0<2a<2π，0<2b<2π得2a＝2b或2a＝π－2b，即△abc为等腰或直角三角形．
已知△abc中，＝，试判断△abc的形状．
解：由已知，得＝＝＝
由正弦定理知＝，∴sinccosc＝sinbcosb，即sin2c＝sin2b，因为∠b、∠c均为△abc的内角．所以2∠c＝2∠b或2∠c＋2∠b＝180°，所以∠b＝∠c或∠b＋∠c＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．
题型4 正弦定理、余弦定理的综合应用。
例4 在△abc中，a、b、c所对的边分别是a、b、c，且bcosb是acosc、ccosa的等差中项．
1) 求b的大小；
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