第四章平面向量与复数第4课时复数(对应学生用书(文)、(理)68～69页)
1. (课本改编题)复数z＝＋i的共轭复数为___
答案：－i解析：∵ z＝＋i，∴ z －＝i.
2. (课本改编题)已知z＝(a－i)(1＋i)(a∈r，i为虚数单位)，若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a
答案：1解析：z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，∵ z在复平面内对应的点在实轴上，∴ a－1＝0，从而a＝1.
3. (课本改编题)已知i是虚数单位，则。
答案：－＋i
解析：＝＝i.
4. (课本改编题)设(1＋2i)＝3－4i(i为虚数单位)，则|z
答案：解析：由已知，|(1＋2i)z －|3－4i|，即|z －|5，∴ z|＝|z －|
5. 已知平行四边形abcd的三个顶点a、b、c分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点d对应的复数为___
答案：5－3i
解析：对应复数为(－5i)－(2＋i)＝2－6i，对应复数为zd－(3＋3i)，平行四边形abcd中，＝，则zd－(3＋3i)＝2－6i，即zd＝5－3i.
1. 复数的概念。
1) 虚数单位i: i2＝－1；i和实数在一起，服从实数的运算律．
2) 代数形式：a＋bi(a，b∈r)，其中a叫实部，b叫虚部．
2. 复数的分类。
复数z＝a＋bi(a、b∈r)中，z是实数 b＝0，z是虚数 b≠0，z是纯虚数 a＝0，b≠0．
3. a＋bi与a－bi(a，b∈r)互为共轭复数．
4. 复数相等的条件。
a＋bi＝c＋di(a、b、c、d∈r) a＝c且b＝d.
特殊的，a＋bi＝0(a、b∈r) a＝0且b＝0.
5. 设复数z＝a＋bi(a，b∈r)，z在复平面内对应点为z，则的长度叫做复数z的模(或绝对值)，即|z|＝|
6. 运算法则。
z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a、b、c、d∈r)．
1) z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
2) z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
3)＝＋i.
备课札记]题型1 复数的概念。
例1 已知复数z＝＋(m2－5m－6)i(m∈r)，试求实数m分别取什么值时，z分别为：
1) 实数；
2) 虚数；
3) 纯虚数．
解：(1) 当z为实数时，则有所以。
所以m＝6，即m＝6时，z为实数．
2) 当z为虚数时，则有m2－5m－6≠0且有意义，所以m≠－1且m≠6且m≠1.∴ m≠±1且m≠6.所以当m∈(－1)∪(1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞时，z为虚数．
3) 当z为纯虚数时，则有。
所以故不存在实数m使z为纯虚数．
已知m∈r，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时．
1) z∈r；
2) z是虚数；
3) z是纯虚数．
解：(1) 由z∈r，得解得m＝－3.
2) 由z是虚数，得m2＋2m－3≠0，且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
3) 由z是纯虚数，得。
解得m＝0或m＝－2.
题型2 复数相等的条件。
例2 若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈r，i是虚数单位，求点p(a，b)到原点的距离．
解：由已知ai＋2＝b－i，∴
点p(－1，2)到原点距离|op|＝.
设复数＝a＋bi(a、b∈r)，则a＋b
答案：1解析：由＝－＝i，得a＝0，b＝1，所以a＋b＝1.
题型3 复数代数形式的运算。
例3 已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
解：(z1－2)(1＋i)＝1－i z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈r，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.
z1·z2∈r，∴ a＝4.∴ z2＝4＋2i.
设i是虚数单位，若z＝＋ai是实数，则实数a
答案：解析：z＝＋ai＝＋ai＝＋i∈r，所以a－＝0，a＝.
题型4 复数的几何意义。
例4 已知o为坐标原点，向量，分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈r)，若1＋z2是实数．
1) 求实数a的值；
2) 求以，为邻边的平行四边形的面积．
解：(1) ∵1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i是实数，∴ a2＋2a－15＝0.
a＝3，a＝－5(舍)．
2) 由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i，∴ 1，1cossin〈，〉s ＝|sin平行四边形的面积为。
如图所示，平行四边形oabc，顶点o、a、c分别表示＋2i、－2＋4i，试求：
1)、所表示的复数；
2) 对角线所表示的复数；
3) 求b点对应的复数．
审题视点]结合图形和已知点对应的复数，根据加减法的几何意义，即可求解．
解：(1)＝－所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，所以所表示的复数为－3－2i.
2)＝－所以所表示的复数为(3＋2i)－(2＋4i)＝5－2i.
3)＝＋所以表示的复数为(3＋2i)＋(2＋4i)＝1＋6i，即b点对应的复数为1＋6i.
1. (2013·江苏)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为___
答案：5解析：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，|z|＝＝5.
2. 若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为___
答案：0解析：因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i－2i＝0.
3. 设a、b∈r，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b
答案：8解析：由a＋bi＝，得a＋bi＝＝＝5＋3i，所以a＝5，b＝3，a＋b＝8.
4. (2013·南通二模)设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为___
答案：解析：设z＝a＋bi(a，b∈r)．∵复数z满足|z|＝|z－1|＝1，∴ 解得a＝.∴复数z的实部为。
1. (2013·重庆卷)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z
答案：解析：z＝＝＝2＋i |z|＝.
2. (2013·北京卷)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于___
答案：第四象限。
解析：(2－i)2＝3－4i对应的点为(3，－4)位于第四象限．
3. (2013·上海卷)设m∈r，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m
答案：－2解析：由m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数可知 m＝－2.
4. m取何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i.
1) 是实数；(2) 是虚数；(3) 是纯虚数．
解：(1) 当即时，当m＝5时，z是实数．
2) 当即时，当m≠5且m≠－3时，z是虚数．
3) 当即时，当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
5. 设复数z满足4z＋2z＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ(θr)．求z的值和|z－ω|的取值范围．
解：设z＝a＋bi(a，b∈r)，则z＝a－bi，代入4z＋2z＝3＋i，得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i.
解得 ∴z＝＋i.z－ω|
－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4.
0≤|z－ω|2.
1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质．
2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程．
3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论．
请使用课时训练(b)第4课时(见活页)．
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第七章推理与证明第3课时数学归纳法 对应学生用书 理 97 98页 1.若f n 1 n n 则n 1时，f n 答案 1 解析 当n 1时，f 1 1 2.选修22p88练习题3改编 用数学归纳法证明不等式 2n n2 1对于n n0的自然数n都成立 时，第一步证明中的起始值n0应取为 答案 5解...