2023年中考数学压轴题。
专题：函数问题7
1. （2012江苏连云港12分）如图，甲、乙两人分别从a(1，)、b(6，0)两点同时出发，点o为坐标原点，甲沿ao方向、乙沿bo方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达m点，乙到达n点．
1)请说明甲、乙两人到达o点前，mn与ab不可能平行．
2)当t为何值时，△omn∽△oba？
3)甲、乙两人之间的距离为mn的长，设s＝mn2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．
答案】解：(1)∵a坐标为(1，)，oa＝2，∠aob＝60°。
∵甲达到o点时间为t＝，乙达到o点的时间为t＝，甲先到达o点，所以t＝或t＝时，o、m、n三点不能连接成三角形。
当t＜时，om＝2－4t，on＝6－4t，假设mn∥ab。则△omn∽△oab。，解得t＝0。即在甲到达o点前，只有当t＝0时，△omn∽△oab。
mn与ab不可能平行。
当＜t＜时，如图，∵∠pmn＞∠pon＞∠pab
mn与ab不平行。
综上所述，在甲、乙两人到达o点前， mn与ab不可能平行。
2) 由（1）知，当t≤时，△omn不相似△oba。
当t＞时，om＝4t －2，on＝4t －6，由解得t＝2＞，当t＝2时，△omn∽△oba。
3)①当t≤时，如图1，过点m作mh⊥x轴，垂足为h，在rt△moh中，∵∠aob＝60°，mh＝omsin60°＝(2－4t)×＝1－2t)，oh＝0mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，nh＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。
s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。
当＜t≤时，如图2，作mh⊥x轴，垂足为h，在rt△mnh中，mh＝(4t－2)＝(2t－1)，nh＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，s＝[(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。
当t＞时，同理可得s＝16t2－32t＋28。
综上所述，s＝16t2－32t＋28。
s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12，当t＝1时，s有最小值为12，甲、乙两人距离最小值为（km）。
考点】反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。
分析】(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。
2)根据两个点到达o点的时间不同分段讨论解答。
3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题。
2. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做p1、p2两点间的直角距离，记作d（p1，p2）．
1）已知o为坐标原点，动点p（x，y）满足d（o，p）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点p所组成的图形；
2）设p0（x0，y0）是一定点，q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（p0，q）的最小值叫做p0到直线y=ax+b的直角距离．试求点m（2，1）到直线y=x+2的直角距离．
答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。
所有符合条件的点p组成的图形如图所示：
2）∵d（m，q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。
点m（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。
考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。
分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。
2）根据新定义知d（m，q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。
3. （2012四川凉山8分）如图，已知直径为oa的⊙p与x轴交于o、a两点，点b、c把三等分，连接pc并延长pc交y轴于点d（0，3）．
1） 求证：△pod≌△abo；
2） 若直线l：y=kx+b经过圆心p和d，求直线l的解析式。
答案】（1）证明：连接pb，直径为oa的⊙p与x轴交于o、a两点，点b、c把三等分，∠apb=∠dpo=×180°=60°，∠abo=∠pod=90°。
pa=pb，∴△pab是等边三角形。
ab=pa，∠bao=60°，ab=op，∠bao=∠opd。
在△pod和△abo中，∠opd=∠bao， op=ba ，∠pod=∠abo ，
△pod≌△abo（asa）。
2）解：由（1）得△pod≌△abo，∴∠pdo=∠aob。
∠aob=∠apb=×60°=30°，∴pdo=30°。
op=odtan30°=3×。∴点p的坐标为：（－0）。
点p，d在直线y=kx+b上，，解得： 。
直线l的解析式为：y=x+3。
考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。
分析】（1）首先连接pb，由直径为oa的⊙p与x轴交于o、a两点，点b、c把三等分，可求得∠apb=∠dpo=60°，∠abo=∠pod=90°，即可得△pab是等边三角形，可得ab=op，然后由asa，即可判定：△pod≌△abo。
2）易求得∠pdo=30°，由op=odtan30°，即可求得点p的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式。
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