2019普陀压轴题

2010学年第一学期普陀区高三年级质量调研。

数学试卷（理科）压轴题分析。

23．（本题满分20分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题10分）

平面直角坐标系中，已知是直线上的个点（均为非零常数）

1）若数列成等差数列，求证：数列也成等差数列。

2）若点是直线上的一点，且求的值。

3）若点满足我们称是向量的线性组合，是该线性组合的系数数列。

当是向量的线性组合时，参考以下线索：

a 系数数列满足怎样的条件，点会落在直线上。

b若点落在直线上，系数数列会满足怎样的结论。

c能否根据你给出的系数数列满足的条件，确定在直线上的点的个数或坐标。

试提出一个相关命题（或猜想）并展开研究，写出你的研究过程【本小题将根据你提出的命题（或猜想）的完备程度和研究过程中体现的思维层次，给予不同的评分】

分析】本题是数列与向量的综合性题目，但本题所涉及的内容却是大学高等代数中有关线性空间中向量分析的内容；

本类题目的特点是内容庞杂，文字众多，但第一问、第二问都是相当简单的，所以千万不要被这类题目吓到。

本题的第一问是有关基本数列中的等差数列的问题，一般来说判断数列是否为等差数列可以从以下几点来断定：1、前后两项的差为定值；2、通项公式是项数的一次函数；3、求和公式是项数的二次函数。本题相对简单直接用第一种方法即可。

本题的第二问其实在大家的数学课本上已有体现，它也是定比分点公式的向量形式，解决的方法无非最终转化为平面的唯一分解定理，就本题来说，它是第三问的铺垫。

本题的第三问是披上线性组合的外衣，考察的还是平面唯一分解定理，只不过解决的技巧略微难一些，其实它是第二问的推广，至于后面的讨论研究，大家一定要学会在题目中找问题，只要将第三问的参考略作改变即可得到一个新的问题或结论，下面给出的猜想其实是平面向量空间的向量共面的定理。

解答】1）证明：因为数列成等差数列，不妨设（为定常数），则：

为定常数，故数列也成等差数列。

2）若点落在直线上，则必有：

为定常数），故根据平面向量的唯一分解定理：，故。

3） a ：满足的条件为：证明如下：

因为在一条直线上，故，不妨设，则：

由平面唯一分解定理：

b：同a一样。

c：显然由且满足条件的点。

有无穷个，坐标为。

可以作以下猜想：

1、在同一条直线上的点若存在使得：，则的值为多少？

答案为：，只要将向右移就可显然得到该结论。

2、若，则满足什么条件时，在同一条直线上。

问题、的结论与题目中的a、b是对应的，很容易可以从a、b得出的结论。