2023年压轴题

（2023年株洲市压轴题）孔明是一个喜欢**钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于、两点，请解答以下问题：

1）若测得（如图1），求的值；

2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点旋转到如图2所示位置时，过作轴于点，测得，写出此时点的坐标，并求点的横坐标；

3）对该抛物线，孔明将三角板绕点旋转任意角度时惊奇地发现，交点、的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

考点：坐标系的知识、二次函数的知识，对称的性质，三角形的相似，方程的知识等等。

专题：压轴题。

解答：1）设线段与轴的交点为，由抛物线的对称性可得为中点，，，

将(，)代入抛物线得，.

2）解法一：过点作轴于点，点的横坐标为，∴ 1，)，

. 又，易知，又，△∽

设点（，）则，，∴即点的横坐标为。

解法二：过点作轴于点，点的横坐标为，∴ 1，)，

易知，，设点（-，则，，∴即点的横坐标为。

解法三：过点作轴于点，点的横坐标为，∴ 1，)，

设（-，则，解得：，即点的横坐标为。

3）解法一：设。

设直线的解析式为：，则，得，

又易知△∽△

.由此可知不论为何值，直线恒过点（，）

解法二：设。

直线与轴的交点为，根据，可得。

化简，得。

又易知△∽△

为固定值。故直线恒过其与轴的交点（,）

2011营口）如图（1），直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点b、点c，经过b、c两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为a，顶点为p．

1）求该抛物线的解析式；

2）在该抛物线的对称轴上是否存在点m，使以c、p、m为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点m的坐标；若不存在，请说明理由；

3）连接ac，在x轴上是否存在点q，使以p、b、q为顶点的三角形与△abc相似？若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由；

4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点e，使△cbe的面积有最大值．

图（2）、图（3）供画图**）

解：（1）由已知，得b（3，0），c（0，3），{3=c0=9+3b+c，解得{b=-4c=3，抛物线解析式为y=x2-4x+3；

2）∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，对称轴为x=2，顶点坐标为p（2，-1），满足条件的点m分别为m1（2，7），m2（2，25-1），m3（2，32），m4（2，-25-1）；

3）由（1），得a（1，0），连接bp，∠cba=∠abp=45°，当bqbp=bcba时，△abc∽△pbq，bq=3．

q1（0，0），当bqbp=babc时，△abc∽△qbp，bq=23．

q′（73，0）．

4）当0＜x＜3时，在此抛物线上任取一点e，连接ce、be，经过点e作x轴的垂线fe，交直线bc于点f，设点f（x，-x+3），点e（x，x2-4x+3），ef=-x2+3x，s△cbe=s△cef+s△bef=12efob，-32x2+92x，-32（x-32）2+278，a=-32＜0，当x=32时，s△cbe有最大值，y=x2-4x+3=-34，e（32，-34）．

2011芜湖）平面直角坐标系中，aboc如图放置，点a、c的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点o顺时针旋转90°，得到a'b'oc'．

1）若抛物线过点c，a，a'，求此抛物线的解析式；

2）aboc和a'b'oc'重叠部分△oc'd的周长；

3）点m是第一象限内抛物线上的一动点，问：点m在何处时△ama'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时m的坐标．

解：(1)设过点c(-1,0),a(0,3),a'(3,0)的抛物线为y=ax+bx+c.则：

0=a-b+c;

3=c;0=9a+3b+c.

解得：a=-1,b=2,c=3.故此抛物线为y= -x+2x+3.

2)∠c'od=∠cao;∠oc'd=∠oca.

∠c'od+∠oc'd=∠cao+∠oca=90°,则∠odc'=∠oab=90°.

又∠c'od=∠boa.故⊿c'od∽⊿boa,(c'o+od+dc')/bo+oa+ab)=oc'/ob.

即(c'o+od+dc')/10+3+1)=1/√10,c'o+od+dc'=(5+2√10)/5.

3)设点m为(m,n),作mh垂直y轴于h,则mh=m,oh=n;n=-m+2m+3.

连接aa',则s⊿ama'=s梯形mhoa'-s⊿mha-s⊿aoa'

即s⊿ama'=(mh+oa')*oh/2-mh*ha/2-3*3/2=(m+3)*n/2-m*(n-3)/2-9/2=(3/2)n+(3/2)m-9/2

3/2)*(m+2m+3)+(3/2)m-9/2=(-3/2)m+(9/2)m=(-3/2)(m-3/2)+27/8.

当m=3/2时，s⊿ama'有最大值，且最大值为27/8;

此时：n=-m+2m+3=-(3/2)+2*(3/2)+3=15/4.即此时点m为(3/2,15/4).

2011潍坊）如图，y关于x的二次函数y=-33m（x+m）（x-3m）图象的顶点为m，图象交x轴于a、b两点，交y轴正半轴于d点．以ab为直径作圆，圆心为c．定点e的坐标为（-3，0），连接ed．（m＞0）

1）写出a、b、d三点的坐标；

2）当m为何值时m点在直线ed上？判定此时直线与圆的位置关系；

3）当m变化时，用m表示△aed的面积s，并在给出的直角坐标系中画出s关于m的函数图象的示意图．

解答：解：（1）a（﹣m，0），b（3m，0），d（0， m）．

（2）设直线ed的解析式为y=kx+b，将e（﹣3，0），d（0， m）代入得：

解得，k= ，b= m．

∴直线ed的解析式为y= mx+ m．

将y=﹣ x+m）（x﹣3m）化为顶点式：y=﹣ x+m）2+ m．

∴顶点m的坐标为（m， m）．代入y= mx+ m得：m2=m

∵m＞0，∴m=1．所以，当m=1时，m点在直线de上．

连接cd，c为ab中点，c点坐标为c（m，0）．

∵od= ，oc=1，∴cd=2，d点在圆上。

又oe=3，de2=od2+oe2=12，ec2=16，cd2=4，∴cd2+de2=ec2．

∴∠fdc=90°

∴直线ed与⊙c相切．

（3）当0＜m＜3时，s△aed= ae．ood= m（3﹣m）

s=﹣ m2+ m．

当m＞3时，s△aed= ae．ood= m（m﹣3）．

即s= m2_ m．

2011上海）已知平面直角坐标系xoy（如图），一次函数y=34x+3的图象与y轴交于点a，点m在正比例函数y=32x的图象上，且mo=ma．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点a、m．

1）求线段am的长；

2）求这个二次函数的解析式；

3）如果点b在y轴上，且位于点a下方，点c在上述二次函数的图象上，点d在一次函数y=34x+3的图象上，且四边形abcd是菱形，求点c的坐标．

解析：∵函数 y=3/4x+3的图象与y轴交于点a，点m在正比例函数 y=3/2x的图像上。

a(0,3)

设m(x,y)

过m作me⊥y轴于e

在⊿aem和⊿oem中。

om=am，∴am^2=x^2+(3-y)^2=om^2=x^2+y^2==>y=3/2

m(1,3/2)

点a、m在二次函数y=x2+bx+c的图象上。

c=3, 3/2=1+b+3==>b=-5/2

二次函数y=x^2-5/2x+3

点b在y轴上，且位于点a下方，点c在上述二次函数的图象上，点d在一次函数 y=3/4x+3的图象上，且四边形abcd是菱形。

3 cd=ad c=(xc,xc2-2.5xc+3d(xc,3/4xc+3)

cd=3/4x+3-(x2-5x/2+3)=-x2+13x

ad=根号x2+(3/4x)2=5x/4

5x/4=-x2+13x/4解得x1=0（舍去） x2=2

∴x=2 把x=2代入。

y=2c（2,2）

由勾股定理得am=om=√(1+9/4)=√13/2

2011黔南州）如图，在平面直角坐标系中，点a的坐标为（1，3），△aob的面积是3．

1）求点b的坐标；

2）求过点a、o、b的抛物线的解析式；

3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点c，使△aoc的周长最小？若存在，求出点c的坐标；若不存在，请说明理由；

4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点p，过点p作x轴的垂线，交直线ab于点d，线段od把△aob分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形bpod面积比为2：3？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得：12ob3=3，ob=2，b（-2，0）；

2）设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点a（1，3），得a=33，y=33x2+233x；（3）存在点c．

b、o两点关于抛物线对称轴x=-1对称，连接ab交抛物线对称轴于c点连接oc、oa，c点即为所求．

设直线ab解析式为y=kx+b，将a、b两点坐标代入，得{k+b=3-2k+b=0，解得{k=33b=233，y=33x+233，当x=-1时，y=33，∴c（-1，33）．

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