天津科技大学线性代数检测题1-1参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (a)； 2. (c)； 3. (d).
三．计算题。
1. 解：原式。
2. (1) 解：原式；
2) 解：.
3. 解： .
故或或。天津科技大学线性代数检测题1-2参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (a)； 2. (c).
三．计算题。
1. 解：(1)；
2) 将第。
二、三、四列加到第一列上，得。原式；
2. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有。
故或。3. 解：，，
故，，.天津科技大学线性代数自测题1参***。
一．填空题。
二．计算题。
2) 由性质3，得：原式。
3) 原式。
或 .天津科技大学线性代数检测题2-1参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (c)； 2. (d)； 3. (b).
三．计算题。
1. 解：.
2. 解：，
四．证明题。
证：由，，知。 故的充要条件是，即。
天津科技大学线性代数检测题2-2参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (b)； 2. (d)； 3. (a)； 4. (c).
三．计算题。
1. 解：(1)，故 .
2)，，故。
3)，，故。
2. 解：，，因此。
注：应先判断矩阵的可逆性，再得出）
四．证明题。
证：由 ，知，故可逆，且。
天津科技大学线性代数检测题2-3参***。
一．填空题。
1. 0 ； 2. 同解方程组 ； 3.； 4..
二．选择题。
1. (d2. (c).
三．计算题。
1. 解： .
2. 解：(1)
故可逆，且。
故不可逆。3. 解：
故可逆，且。
天津科技大学线性代数检测题2-4参***。
一．填空题。
1.； 2. 0或1 ； 3. 3 .
二．选择题。
1. (d)； 2. (a)； 3. (b)； 4. (b)； 5. (c).
三．计算题。
1. 解：对进行初等行变换化为行阶梯形，得，故。
2. 解：对进行初等行变换化为行阶梯形，得。
故。 由于在中，1, 2, 3行与1, 2, 4列交点元素所形成的行列式，这是由中1,2,4行与1,2,4列交点元素得到的，故行列式即为的一个最高阶(3阶)非零子式。
3. 解：
从而当时，；当时，.
天津科技大学线性代数自测题2参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (b)； 2. (d)； 3. (d)； 4. (a)； 5. (c).
三．计算题。
1. 解：由 ，故可逆，且 .
2. 由，得。 再由。
知可逆，且。
四．证明题。
1.证：由，故。
2. 证：“”若，则，记，，则显然；
若，则存在可逆矩阵、使得，或，记，，则。
“”由，知。
天津科技大学线性代数检测题3-1参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (c)； 2. (c).
三．计算题。
1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：
由于变换后的矩阵对应方程组的最后一行为，所对应的方程变为，因而方程组无解，从而原方程组也无解。
或继续初等行变换，得到，得出，于是无解)
2. 解：
由此得方程组的通解为，.
四．证明题。
证： 显然当且仅当时，，即方程组有解的充分必要条件是。 此时。
因而方程组的通解为，.
天津科技大学线性代数检测题3-2参***。
一．填空题。
1.； 2.； 3. 行 .
二．选择题。
1. (d2. (a).
三．计算题。
1. 解：
由，知方程组无解，故不能由向量组线性表示。
2. 解：
故能由向量组线性表示，且表示法唯一，其表示式为。
3. 解：
故能由向量组线性表示，且表示法唯一，其表示式为。
四．证明题。
证：不妨设组、均为列向量组。 由组与等价，知组能由线性表示，从而存在矩阵，使得，其中，. 若能由向量组线性表示，则方程组有解，设其一解为，即，从而有解，故能由向量组线性表示。
同理，若能由向量组线性表示，则亦能由向量组线性表示。
天津科技大学线性代数检测题3-3参***。
一．填空题。
1. 有非零解 ； 2. 0 ； 3. 无关 ； 4.； 5..
二．选择题。
1. (b)； 2. (b)； 3. (c).
三．计算题。
解：由，知，故向量组线性相关。
四．证明题。
1. 证：设，则。 由为可逆矩阵，知。 再由线性无关，知，即向量组线性无关。
2. 证：(1)由向量组线性无关，知向量组线性无关，而向量组线性相关，故能由线性表示。
(2)假设向量能由向量组线性表示，比如。 由向量能由线性表示，设，则，这与向量组线性无关矛盾，故向量不能由向量组线性表示。
天津科技大学线性代数检测题3-4参***。
一．填空题。
1. 为2或3 ； 2.； 3.， 1 ； 4.； 5. 1 .
二．选择题。
1. (d2. (b).
三．计算题。
1. 解：对进行初等行变换，得。
于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为，且有，.
2. 对进行初等行变换，得。
于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为，且有，.
3. 解：对进行初等行变换，得。
由于向量组线性相关，即，必有，且显然为其一个极大无关组。
4. 解：，故向量组线性相关，为一个极大无关组，并且。
天津科技大学线性代数检测题3-5参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (b2. (a).
三．计算题。
1. 解：对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得。
一个基础解系为，所求方程组的通解为，.
2. 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换，得。
对应齐次线性方程组的一个基础解系为，所求方程组的一个特解为，于是所求所求方程组的通解为，.
3. 解：
故方程组的通解为，.
四．证明题。
证：由，知的列向量均为方程组的解。 因为的解空间的维数为，因而，即。
天津科技大学线性代数检测题3-6参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (d)； 2. (c)； 3. (b).
三．计算题。
1. 解：取，再将它们单位化，得，，，则即为所求。
2. 解：只需将标准正交化即可。 取，再令，，则即是所求的标准正交基。
3. 解：设，由是的一组标准正交基，知。而。故 .
天津科技大学线性代数自测题3参***。
一．填空题。
1.； 2. 相关； 3. 无关； 4. 相关； 5. 2 ； 6..
二．选择题。
1. (c)； 2. (c)； 3. (c).
三．计算题。
1. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得。
由方程组只有零解，故，从而，即仅当时方程组只有零解。
2. 解：由 ，知线性无关，从而为的一个基，并且。
四．证明题。
证：(1) 首先， (因而是的个解；
其次，设，得，若，则，，矛盾，因而；由线性无关，知，从而，即线性无关。
2) 设为方程组的任一解，则为方程组的解。 由是的基础解系，因而存在数，使得，于是。
其中。 证毕。
天津科技大学线性代数检测题4-1参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (c2. (a)(提示：；不可逆阵必有特征值0).
三．计算题。
1. 解：，所以矩阵的特征值为，.
当时，解方程：，得基础解系，，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).
当时，解方程：，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为。
2. 解： ，所以矩阵的特征值为，.
当时，解方程：，得基础解系，，所以对应于的全部特征向量为(不同时为0).
当时，解方程：，得基础解系，所以对应于的全部特征向量为。
3. 解：的特征值为，因而的特征值为即，故 .
4. 解：由，，，得，即。
由，故可逆，从而。
天津科技大学线性代数检测题4-2参***。
一．填空题。
1.； 2.； 3. 充分 ， 充要 ； 4. 5 ， 6 .
二．选择题。
1. (a)； 2. (c3. (d).
三．证明题。
1. 证：由、、均不可逆，知行列式，从而有三个不同的特征值、，因此可以对角化。
2. 证：由可逆，知，即。
四．计算题。
1. 解：，特征值为，.
对于，解方程组，即，得到特征向量，.
对于，解方程组，即，得到特征向量。
令，则可逆，且。
2. 解：，特征值为，.
对于，解方程组，得特征向量；对于，解方程组，得特征向量。
于是令，则，从而。
又由，故 .
天津科技大学线性代数检测题4-3参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (a).
三．计算题。
解：，特征值为。
对于，解方程组，即，得特征向量，单位化，得；
对于，解方程组，即，得特征向量，单位化，得。
令，则为正交矩阵，且。
天津科技大学线性代数自测题4参***。
一．填空题。
二．选择题。
1. (b)； 2. (c).
三．计算题。
1. 解：由，知，从而。
2. 解：，，因此有重特征值为5. 将代入方程组，即，解得的属于特征值5的特征向量为，其中不全为零，为维基本单位向量。
3. 解：，特征值为，.
对于，解方程组，得特征向量，，将其标准正交化，得，；对于，解方程组，得特征向量，单位化，得；令，则为正交矩阵，且。
四．证明题。
1. 证：(反证法)假设是的特征向量，对应的特征值是，于是。
另一方面，，从而，即。又由特征向量、属于不同的特征值，知、线性无关，从而，得到，矛盾。因此必不是的特征向量。
2. 证：(1) 假设存在非零特征值，则具有特征值；但的特征值只有0，矛盾，因此的特征值全为0.
2) 假设相似于对角矩阵。 由(1)题知，的特征值全为0(否则也有非零特征值，矛盾)，因而，即存在可逆矩阵，使得，从而，矛盾。 因此，不能相似于对角矩阵。
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