2023年备考最新6套数学压轴题之四。
1.小题满分12分)已知函数f(x)=
1)当时， 求的最大值；
2) 设，是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
2)存在符合条件。
解： 因为=
不妨设任意不同两点，其中。
则 由知： 1+
又故。故存在符合条件12分。
解法二：据题意在图象上总可以在找一点使以p为切点的切线平行图象上任意两点的连线，即存在。
故存在符合条件．
2.小题满分13分）在平面直角坐标系中，线段ab与y轴交于点，直线ab的斜率为k，且满足．
1）证明：对任意的实数，一定存在以y轴为对称轴且经过a、b、o三点的抛物线c，并求出抛物线c的方程；
2）对（1）中的抛物线c，若直线与其交于m、n两点，求∠mon的取值范围．
解：（1）由已知设①
又设抛物线②
由①②得 设，则。
由弦长公式得。
而，所以，即抛物线方程为………6分。
2）设，由。
而。则，……7分。
不妨设，由于，则。
令，则on到om的角为，且满足。
令，则，且 ∴
函数与在上皆为增函数。
则，又时，13分。
3.小题满分14分)
设数列的前项和为，已知(n∈n*).
1）求数列的通项公式；
2）设，数列的前项。
和为，若存在整数，使对任意n∈n*
且n≥2，都有成立，求的。
最大值；3）令，数列的。
前项和为，求证：当n∈n*且n≥2时，.
解（1）由，得(n≥2).
两式相减，得，即(n≥2
于是，所以数列是公差为1的等差数列。
又，所以。所以，故。……4分。
2）因为，则。
令，则。所以。
即，所以数列为递增数列。
所以当n≥2时，的最小值为。
据题意，，即。又为整数，故的最大值为18. …8分。
3）因为，则当n≥2时，下面证。
方法一：先证一个不等式，当时，
令，则，在时单调递增，即当时，
令，，，以上个式相加，即有。
……14分。
方法二：先用数学归纳法证明一个加强不等式。
时，成立，故时不等式成立。
假设时成立，即。
则当时， 下面用分析法证[**：z,xx,即证[**：学科网]
即证， 故即证。
即证。上式显然成立。
可以从到时引导学生发现中的的值，此种方法对于常数型的关于正整数的不等式的证明很凑效）
方法三：又据柯西不等式，有。
[**：学_科_网。
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