第三讲函数性质。
★★高考在考什么。
考题回放】1．(江苏) 设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ b ）
2．(江苏) 设是奇函数，则使的的取值范围是（ a ）
3．（安徽卷）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期．若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ｄ
a．0b．1c．3d．5
4．(北京) 对于函数①，②判断如下三个命题的真假：命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
命题丙：在上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ｄ
5．(辽宁) 已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）
a．0是的极大值，也是的极大值 b．0是的极小值，也是的极小值。
c．0是的极大值，但不是的极值 d．0是的极小值，但不是的极值。
6．（天津卷）若函数在区间内单调递增，则a的取值范围是。
★★高考要考什么。
一、 单调性：
1.定义：一般地，（1）对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1、x2，（2）当x1＜x2时，（3）都有f（x1）＜f（x2）〔或都有f（x1）＞f（x2）〕，那么就说（4）f（x）在这个区间上是增函数（或减函数）.
要注意定义引申：（1）、（2）、（4）（3）；（1）、（3）、（4）（2）
如：是定义在上的递减区间，且<，则x的取值范围___
二、 奇偶性：
1.优先考虑定义域：定义域关于原点对称是具体奇偶性的必要条件。
2.奇函数在处有意义，则。
3.奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反。
三、 周期性：
1.若，则的周期是＿＿＿2.若，则的周期是＿＿＿
3. 若，则的周期是＿＿＿
4.若是偶函数，且图象关于对称，则的周期是＿＿＿
★★ 突破重难点。
范例1】设函数定义在r上，对于任意实数，总有，且当时，。（1）证明：，且时。
2）证明：函数在r上单调递减。
3）设，若，确定的取值范围。
1）解：令，则，对于任意实数恒成立，
设，则，由得，当时， 当时， ,2）证法一：设，则，函数为减函数。
证法二：设，则。
故 ,函数为减函数。
3）解：∵，
若，则圆心到直线的距离应满足，解之得。
变式：已知定义在r上的函数满足：，当x＜0时，。
（1）求证：为奇函数；（2）求证：为r上的增函数；
（3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）
解：（1）由，令，得：，即。
再令，即，得：
是奇函数………4分。
（2）设，且，则。
由已知得：
即在r上是增函数………8分。
即。当，即时，不等式解集为。
当，即时，不等式解集为。
当，即时，不等式解集为………13分。
范例2】已知f(x)=(x∈r)在区间[－1，1]上是增函数。，（1）求实数a的值组成的集合a；
2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈a及t∈[－1，1]恒成立？
若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（1）f＇(x)==f(x)在[－1，1]上是增函数，f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立。
设 (x)=x2－ax－2，1≤a≤1，∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
a=. 2）由=，得x2－ax－2=0， ∵a2+8>0
x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，x1+x2=a，从而|x1－x2|==
x1x2=－2，－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈a及t∈[－1，1]恒成立，当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立。
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈a及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是。
方法二：当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，m>0m<0，或。
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈a及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是。
点晴】利用导数研究函数的单调性和最值。在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决。
变式：设函数，其中。
1）解不等式。
2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。
解：（1）不等式即为。
当时，不等式解集为。
当时，不等式解集为。
当时，不等式解集为。
2）在上任取，则。
所以要使在递减即，只要即。
故当时，在区间上是单调减函数。
范例3】已知函数的定义域为，且同时满足：①；恒成立；③若，则有．
1）试求函数的最大值和最小值；
2）试比较与的大小n）；
3）某人发现：当x= (nn)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切x(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
解： (1)设0≤x1 由条件③得，f(x2)=f(x1+t)f(x1)+f(t)-2,∴f(x2)-f(x1)f(t)-2,由条件②得， f(x2)-f(x1)0,故当0≤x≤1时，有f(0)≤f(x)≤f(1
又在条件③中，令x1=0,x2=1,得f(1)f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2
2)解：在条件③中，令x1=x2=,得f()2f()-2,即f()-2≤[f()-2],
故当nn*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤·f()-2]=,即f()≤2.
又f()=f(1)=3≤2+,所以对一切nn,都有f()≤2
3)对一切x(0,1,都有。
对任意满足x(0,1，总存在n(nn),使得。
根据（1）（2）结论，可知：
f(x)≤f()≤2,且2x+2>2+2=+2,故有。
综上所述，对任意x(0,1,恒成立。
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