第。二十四、二十五讲空间角与距离。
★★高考在考什么。
考题回放】1.如图,直线a、b相交与点o且a、b成600,过点o 与a、b都成600角的直线有( c )
a.1 条 b.2条 c.3条 d.4条。
2.(江苏理14题)正三棱锥p-abc高为2,侧棱与底面所成角为,则点到侧面的距离是( b )
a. b. c.6 d.
3.(全国ⅰ理7题)如图,正四棱柱中,,则异面直线所成角的余弦值为( d )
a. b. c. d.
4.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为,则侧面与底面所成的二面角等于.
5.(四川理14题)如图,在正三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则bc1与侧面acc1a1所成的角是 .
6.在棱长为的正方体abcd—a1b1c1d1, e、f分别为bc与a1d1的中点,
1) 求直线a1c与de所成的角;
2) 求直线ad与平面b1edf所成的角;
3) 求面b1edf 与面abcd所成的角。
专家解答】
1)如图,在平面abcd内,过c作cp//de交直。
线ad于p,则(或补角)为异面直线a1c与。
de所成的角。在δ中,易得。
由余弦定理得。
故异面直线a1c与de所成的角为。
ad在面b1edf内的射影在∠edf的平分线上。而b1edf是菱形,∴db1为∠edf的平分线。故直线。
ad与面b1edf所成的角为∠adb1.在rtδb1ad中,则。
故直线ad与平面b1edf所成的角为。
3)连结ef、b1d,交于点o,显然o为b1d的中点,从而o为正方体abcd—a1b1c1d1的中心,作oh⊥平面abcd,则h为正方形abcd的中心。再作hm⊥de,垂足为m ,连结om,则om⊥de(三垂线定理),故∠omh为二面角b1-de-a的平面角。
在rtδdoe中,则由面积关系得。
在rtδohm中。
故面b1edf 与面abcd所成的角为。
★★高考考什么。
考点透视】异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大。
热点透析】1.转化思想:
将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证。
3.二面角的平面角的主要作法:①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法。
距离。考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直,求点到平面的距离及多面体的体积。
热点透析】 转化思想:
异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离,平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2.空间距离则主要是求点到面的距离主要方法:
体积法; ②直接法,找出点在平面内的射影。
★★高考将考什么。
范例1】(北京理16题)如图,在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.
)求证:平面平面;
)当为的中点时,求异面直线与所成角的大小;
)求与平面所成角的最大值.
解法一:)由题意,是二面角是直二面角,又二面角是直二面角,又,平面,又平面.
平面平面.)作,垂足为,连结(如图),则,是异面直线与所成的角.
在中,又.在中,.
异面直线与所成角的大小为.
)由()知,平面,是与平面所成的角,且.
当最小时,最大,这时,,垂足为,与平面所成角的最大值为.
解法二:)同解法一.
)建立空间直角坐标系,如图,则,异面直线与所成角的大小为.
)同解法一。
点晴】本题源于课本,高于课本,不难不繁,体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。
变式】如右下图,在长方体abcd—a1b1c1d1中,已知ab= 4, ad =3, aa1= 2.
e、f分别是线段ab、bc上的点,且eb= fb=1.
1) 求二面角c—de—c1的正切值; (2) 求直线ec1与fd1所成的余弦值.
解:(i)以a为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有d(0,3,0)、d1(0,3,2)、e(3,0,0)、f(4,1,0)、c1(4,3,2),故。
设向量与平面c1de垂直,则有。
ii)设ec1与fd1所成角为β,则。
点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点,但必须注意其程序化的过程及计算的公式,本题使用纯几何方法也不难,同学不妨一试。
范例2】(福建理18题)如图,正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长都为2,d为cc1中点。
ⅰ)求证:ab1⊥面a1bd;(ⅱ求二面角a-a1d-b的大小;
分析:本小题主要考查直线与平面的位置关系,二面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
解答:解法一:(ⅰ取中点,连结.
为正三角形,.
正三棱柱中,平面平面,平面.
连结,在正方形中,分别为。
的中点,,.
在正方形中,,平面.
ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(ⅰ)得平面.
为二面角的平面角.
在中,由等面积法可求得,又,.
所以二面角的大小为.
ⅲ)中,,.
在正三棱柱中,到平面的距离为.
设点到平面的距离为.
由得,.点到平面的距离为.
解法二:(ⅰ取中点,连结.
为正三角形,.
在正三棱柱中,平面平面,平面.
取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,平面.
ⅱ)设平面的法向量为.
令得为平面的一个法向量.
由(ⅰ)知平面,为平面的法向量.
二面角的大小为.
点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置,它能考查学生分析问题、解决问题的能力,两种方法各有优缺点,在向量方法中注意动点的设法,在方法二中注意用分析法寻找思路。
变式】在梯形abcd中,ab=bc=1,ad=2,,沿对角线ac将折起,使点b在平面acd内的射影o恰在ac上。
1)求证:ab平面bcd(2)求异面直线bc与ad所成的角。
解:(1)在梯形abcd中, ,ad=2,
又平面acd,故。
又,且平面bcd
2)因为ba=bc,为ac中点,取cd中点e,ab中点f,连结oe、of、ef,则oe//ad,of//bc,所以ad与bc所成的角为或其补角。
作fh//bo交ac于h,连结he, 则fh平面acd
在三角形eof中,又,eo=1
由余弦定理知。
故异面直线bc与ad所成的角为。
点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别,本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
范例3】在四棱锥p-abcd中,abcd为正方形,pa⊥面abcd,pa=ab=a,e为bc中点。
1)求平面pde与平面pab所成二面角的大小;(2)求平面pba与平面pdc所成二面角的大小。
解:(1)延长ab、de交于点f,则pf为平面pde与平面pad所成二面角的棱,pa⊥平面abcd, ∴ad⊥pa、ab, pa∩ab=a
da⊥平面bpa于a, 过a作ao⊥pf于o,连结od,则∠aod即为平面pde与平面pad所成二面角的平面角。
得,故面pde与面pad所成二面角的大小为。
2)解法1(面积法)如图∵ad⊥pa、ab, pa∩ab=a
da⊥平面bpa于a, 同时bc⊥平面bpa于b,△pba是△pcd在平面pba上的射影,
设平面pba与平面pdc所成二面角大小为θ, cosθ=s△pab/s△pcd=/2 θ=450 ,即平面bap与平面pdc所成的二面角的大小为45°。
解法2(补形化为定义法)如图将四棱锥p-abcd补形。
得正方体abcd-pqmn,则pq⊥pa、pd,于是∠apd是两。
面所成二面角的平面角。 在rt△pad中,pa=ad,则∠apd=45°。即平面bap与平面pdc所成二面角的大小为45°。
点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角,同样遵循一作二证三计算的步骤,但应用面积射影法求二面角可避免找角,同学们注意经常使用。
范例4】(20年福建卷)如图,四面体abcd中, o、e分别是bd、bc的中点,
(i)求证:平面bcd; (ii)求异面直线ab与cd所成角的大小;
(iii)求点e到平面acd的距离。
方法一:(i)证明:连结oc
在中,由已知可得。而 即。
平面。(ii)解:取ac的中点m,连结om、me、oe,由e为bc的中点知。
直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角。
在中, 是直角斜边ac上的中线,
异面直线ab与cd所成角的大小为。
(iii)解:设点e到平面acd的距离为。
在中, 而
点e到平面acd的距离为。
方法二:(i)同方法一。
(ii)解:以o为原点,如图建立空间直角坐标系,则。
异面直线ab与cd所成角的大小为。
(iii)解:设平面acd的法向量为则。
令得是平面acd的一个法向量。
又点e到平面acd的距离。
点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
变式】已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1,m是底面bc边上的中点,n是侧棱cc1上的点,且cn=2c1n.
ⅰ)求二面角b1-am-n的平面角的余弦值;(ⅱ求点b1到平面amn的距离。
解(ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,1),m(0,,0),c(0,1,0), n (0,1,) a ()所以, ,因为。
所以,同法可得。
故﹤﹥为二面角—am—n的平面角。
故二面角—am—n的平面角的余弦值为。
ⅱ)设n=(x, y, z)为平面amn的一个法向量,则由得。
故可取。设与n的夹角为a,则。
所以到平面amn的距离为。
范例5】如图,所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截面而得到的,其中ab=4,bc=2,cc1=3,be=1.
2023年高考数学专题讲义空间角与距离
第。二十四 二十五讲空间角与距离。高考在考什么。考题回放 1 如图,直线a b相交与点o且a b成600,过点o 与a b都成600角的直线有 c a 1 条 b 2条 c 3条 d 4条。2 江苏理14题 正三棱锥p abc高为2,侧棱与底面所成角为,则点到侧面的距离是 b a b c 6 d 3...
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