第六讲求通项公式。
★★高考在考什么。
考题回放】1. 已知数列的前n项和为sn，且sn=2(an -1)，则a2等于( a )
a. 4 b. 2 c. 1 d. -2
2．在数列中，，且，则 35 ．
3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___
4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 2n+1-2 .
5. (广东)已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 . 2n-10 ; 8
6. （江西）已知数列对于任意，有，若，则4
7. 已知正项数列，其前n项和sn满足10sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列的通项an .
解析 ∵10sn=an2+5an+610a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
an+an－1>0 ， an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， ∴an=5n－3．
★★高考要考什么。
一、 根据数列的前n项和求通项sn= a1+ a2+ a3+ …an
已知数列前n项和sn,相当于知道了n≥2时候an,但不可忽视n=1.
二、由递推关系求数列的通项。
1. 利用迭加an-an-1=f(n)、迭乘an/an-1=f(n)、迭代。
2.一阶递推，我们通常将其化为看成的等比数列。
3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得an）。
4.对含an与sn的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时n的范围。
★★突破重难点。
范例1】记。
ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和。
解析（i）整理得。
ⅱ）由。所以。
变式】数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列．（）求的值；（）求的通项公式．
解：（）因为，，成等比数列，所以，解得或．
当时，，不符合题意舍去，故．
）当时，由于。
所以．又，，故．当时，上式也成立，所以。
范例2】设数列的首项．
1）求的通项公式；（2）设，证明，其中为正整数．
解：（1）由整理得 ．
又，所以是首项为，公比为的等比数列，得
2）方法一： 由（1）可知，故．则。
又由（1）知且，故，因此为正整数．
方法二：由（1）可知，因为，所以 ．
由可得，即
两边开平方得 ．即为正整数。
变式】已知数列中，对一切自然数，都有且．
求证：(1)； 2)若表示数列的前项之和，则．
解析： (1)由已知得，又因为，所以， 因此，即．
2) 由结论(1)可知，即，于是，即．
范例3】由坐标原点o向曲线引切线，切于o以外的点p1，再由p1引此曲线的切线，切于p1以外的点p2），如此进行下去，得到点列}.
求：（ⅰ的关系式；
（ⅱ）数列的通项公式；
ⅲ）（理）当时，的极限位置的坐
解析 （ⅰ由题得
过点p1（的切线为。
过原点。又过点pn（的。
因为过点pn-1（
整理得。ⅱ）由（i）得
所以数列是以公比为的等比数列。
的极限位置为（
点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知sn，求通项，破解方法：
利用sn-sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
变式】已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.
求证：当n时，(ⅰx （ⅱ
解、 (证明：因为。
所以曲线在处的切线斜率。
即和两点的直线斜率是以。
）因为函数，当时单调递增，而，所以，即因此。
又因为令则。
因为所以。因此故。
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