第。二十四、二十五讲空间角与距离。
★★高考在考什么。
考题回放】1．如图，直线a、b相交与点o且a、b成600，过点o 与a、b都成600角的直线有（ c ）
a．1 条 b．2条 c．3条 d．4条。
2．（江苏理14题）正三棱锥p-abc高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是（ b ）
a． b． c．6 d．
3．（全国ⅰ理7题）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ d ）
a． b． c． d．
4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．
5．（四川理14题）如图，在正三棱柱abc-a1b1c1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则bc1与侧面acc1a1所成的角是 ．
6．在棱长为的正方体abcd—a1b1c1d1， e、f分别为bc与a1d1的中点，
1) 求直线a1c与de所成的角；
2) 求直线ad与平面b1edf所成的角；
3) 求面b1edf 与面abcd所成的角。
专家解答】
1)如图，在平面abcd内，过c作cp//de交直。
线ad于p，则（或补角）为异面直线a1c与。
de所成的角。在δ中，易得。
由余弦定理得。
故异面直线a1c与de所成的角为。
ad在面b1edf内的射影在∠edf的平分线上。而b1edf是菱形，∴db1为∠edf的平分线。故直线。
ad与面b1edf所成的角为∠adb1．在rtδb1ad中，则。
故直线ad与平面b1edf所成的角为。
3）连结ef、b1d，交于点o，显然o为b1d的中点，从而o为正方体abcd—a1b1c1d1的中心，作oh⊥平面abcd，则h为正方形abcd的中心。再作hm⊥de，垂足为m ，连结om，则om⊥de（三垂线定理），故∠omh为二面角b1-de-a的平面角。
在rtδdoe中，则由面积关系得。
在rtδohm中。
故面b1edf 与面abcd所成的角为。
★★高考考什么。
考点透视】异面直线所成角，直线与平面所成角，求二面角每年必考，作为解答题可能性最大。
热点透析】1．转化思想：
将异面直线所成的角，直线与平面所成的角转化为平面角，然后解三角形
2．求角的三个步骤：一猜，二证，三算．猜是关键，在作线面角时，利用空间图形的平行，垂直，对称关系，猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方，然后再证。
3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法。
距离。考点透视】
判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。
热点透析】 转化思想：
异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。
2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：
体积法； ②直接法，找出点在平面内的射影。
★★高考将考什么。
范例1】（北京理16题）如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．
）求证：平面平面；
）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；
）求与平面所成角的最大值．
解法一：）由题意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面．
平面平面．）作，垂足为，连结（如图），则，是异面直线与所成的角．
在中，又．在中，．
异面直线与所成角的大小为．
）由（）知，平面，是与平面所成的角，且．
当最小时，最大，这时，，垂足为，与平面所成角的最大值为．
解法二：）同解法一．
）建立空间直角坐标系，如图，则，异面直线与所成角的大小为．
）同解法一。
点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。
变式】如右下图，在长方体abcd—a1b1c1d1中，已知ab= 4, ad =3, aa1= 2．
e、f分别是线段ab、bc上的点，且eb= fb=1．
1) 求二面角c—de—c1的正切值； (2) 求直线ec1与fd1所成的余弦值．
解：（i）以a为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有d(0,3,0)、d1(0,3,2)、e(3,0,0)、f(4,1,0)、c1(4,3,2),故。
设向量与平面c1de垂直，则有。
ii）设ec1与fd1所成角为β，则。
点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。
范例2】（福建理18题）如图，正三棱柱abc－a1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点。
ⅰ）求证：ab1⊥面a1bd；（ⅱ求二面角a－a1d－b的大小；
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．
解答：解法一：（ⅰ取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，平面．
连结，在正方形中，分别为。
的中点，，．
在正方形中，，平面．
ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（ⅰ）得平面．
为二面角的平面角．
在中，由等面积法可求得，又，．
所以二面角的大小为．
ⅲ）中，，．
在正三棱柱中，到平面的距离为．
设点到平面的距离为．
由得，．点到平面的距离为．
解法二：（ⅰ取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，平面．
ⅱ）设平面的法向量为．
令得为平面的一个法向量．
由（ⅰ）知平面，为平面的法向量．
二面角的大小为．
点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。
变式】在梯形abcd中，ab=bc=1，ad=2，，沿对角线ac将折起，使点b在平面acd内的射影o恰在ac上。
1）求证：ab平面bcd（2）求异面直线bc与ad所成的角。
解：(1)在梯形abcd中， ,ad=2，
又平面acd，故。
又，且平面bcd
2）因为ba=bc，为ac中点，取cd中点e，ab中点f，连结oe、of、ef，则oe//ad，of//bc，所以ad与bc所成的角为或其补角。
作fh//bo交ac于h，连结he, 则fh平面acd
在三角形eof中，又，eo=1
由余弦定理知。
故异面直线bc与ad所成的角为。
点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。
范例3】在四棱锥p-abcd中，abcd为正方形，pa⊥面abcd，pa＝ab＝a，e为bc中点。
1）求平面pde与平面pab所成二面角的大小；（2）求平面pba与平面pdc所成二面角的大小。
解：（1）延长ab、de交于点f，则pf为平面pde与平面pad所成二面角的棱，pa⊥平面abcd， ∴ad⊥pa、ab, pa∩ab=a
da⊥平面bpa于a, 过a作ao⊥pf于o，连结od,则∠aod即为平面pde与平面pad所成二面角的平面角。
得，故面pde与面pad所成二面角的大小为。
2）解法1（面积法）如图∵ad⊥pa、ab, pa∩ab=a
da⊥平面bpa于a, 同时bc⊥平面bpa于b,△pba是△pcd在平面pba上的射影，
设平面pba与平面pdc所成二面角大小为θ, cosθ=s△pab/s△pcd=/2 θ=450 ，即平面bap与平面pdc所成的二面角的大小为45°。
解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥p-abcd补形。
得正方体abcd-pqmn，则pq⊥pa、pd，于是∠apd是两。
面所成二面角的平面角。 在rt△pad中，pa=ad，则∠apd=45°。即平面bap与平面pdc所成二面角的大小为45°。
点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。
范例4】（20年福建卷）如图，四面体abcd中， o、e分别是bd、bc的中点，
（i）求证：平面bcd； （ii）求异面直线ab与cd所成角的大小；
（iii）求点e到平面acd的距离。
方法一：（i）证明：连结oc
在中，由已知可得。而 即。
平面。（ii）解：取ac的中点m，连结om、me、oe，由e为bc的中点知。
直线oe与em所成的锐角就是异面直线ab与cd所成的角。
在中， 是直角斜边ac上的中线，
异面直线ab与cd所成角的大小为。
（iii）解：设点e到平面acd的距离为。
在中， 而
点e到平面acd的距离为。
方法二：（i）同方法一。
（ii）解：以o为原点，如图建立空间直角坐标系，则。
异面直线ab与cd所成角的大小为。
（iii）解：设平面acd的法向量为则。
令得是平面acd的一个法向量。
又点e到平面acd的距离。
点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
变式】已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长和底面边长均为1，m是底面bc边上的中点，n是侧棱cc1上的点，且cn＝2c1n．
ⅰ）求二面角b1－am－n的平面角的余弦值；（ⅱ求点b1到平面amn的距离。
解（ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，m（0，，0）,c(0,1,0), n (0,1,) a ()所以， ,因为。
所以，同法可得。
故﹤﹥为二面角—am—n的平面角。
故二面角—am—n的平面角的余弦值为。
ⅱ）设n=(x, y, z)为平面amn的一个法向量，则由得。
故可取。设与n的夹角为a，则。
所以到平面amn的距离为。
范例5】如图，所示的多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截面而得到的，其中ab=4，bc=2，cc1=3，be=1.
2023年高考数学专题讲义 空间角与距离
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