第十四讲不等式的应用。
★★高考在考什么。
考题回放】1．(北京) 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ d ）
或。2．(福建) 已知为r上的减函数，则满足的实数的取值范围是（c）
a．（－1，1b．（0，1）
c．（－1，0）（0，1） d．（－1）（1，＋）
3．（陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （b）
（ａ）8 （ｂ6 （c）4 （d）2
4．（重庆）若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ a ）
a． b．
c． d．2
5．(重庆）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是c ）
abcd．
6、(年浙江卷)已知则不等式≤5的解集是。
★★高考要考什么。
不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题。
★★突破重难点。
范例1】已知函数的图象与轴分别相交于点a、b，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。
1）求的值；
2）当满足时，求函数的最小值。
解：（1）由已知得。
于是。2）由。
即。由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，时的最小值是－3.
范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.
1)证明：|c|≤1；
2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；
3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).
命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力。属较难题目。
知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂。
错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局。
技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系。
1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.
2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是。
g(－1)≤g(x)≤g(1)，(1≤x≤1).
|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+c|=2，g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(f(－2)|+c|)≥2，因此得|g(x)|≤2 (－1≤x≤1)；
当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(1≤x≤1)，|f(x)|≤1 (－1≤x≤1)，|c|≤1
|g(x)|=f(1)－c|≤|f(1)|+c|≤2.
综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.
证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)
|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，f(x)=ax2+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，因此，根据绝对值不等式性质得：
a－b|=|a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，a+b|=|a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=a+b|=|a±b|≤2，函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.
当－1≤x≤1时，有0≤≤1，－1≤≤0，|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴f |≤1，|f()|1；
因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤f |+f()|2.
3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即。
g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2. ①
－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.
因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，由此得－＜0 ，即b=0.
由①得a=2，所以f(x)=2x2－1.
范例3】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为。数列的前项和为，点均在函数的图像上。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数。
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（ⅰ设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得。
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
当n＝1时，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，故tn＝＝＝1－）.
因此，要使（1－）<成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
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