第十一讲概率与统计。
★★高考在考什么。
考题回放】1．（重庆卷）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张**相同的概率为（ ）
a． b． cd．
解：可从对立面考虑，即三张**均不相同， 选c
2．（辽宁卷）一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球。
是红球，其余的是黑球。 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码。
是偶数的概率是（ ）
a． b． c． d．
解： 从中任取两个球共有种取法，其中取到的都是红球，且至少有1个球。
的号码是偶数的取法有种取法，概率为，选d.
3．(广东卷) 甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为___答案用分数表示)
解：p==4．(上海卷) 在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的。
概率是结果用数值表示）．
解： =5. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进3个球的概率为用数值作答）
解：由题意知所求概率。
6．(全国) 在某项测量中，测量结果服从正态分布．若在。
内取值的概率为0.4，则在内取值的概率为。
解：在某项测量中，测量结果服从正态分布n（1，2）（>0），正态分布图象。
的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在。
1，2)内取值的概率于在(0，1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机。
变量ξ在(0，2)内取值的概率为0.8。
★★高考要考什么。
1.（1）直接利用四种基本事件的概率基本原理，求事件发生的概率。
2）把方程思想融入概率问题，解决实际问题。
3）把概率问题与数列结合起来，运用数列方法解决概率问题。
2．离散型随机变量的分布列。
1)分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …xi, …取每一个值xi（i=1，2，……的概率p（ξ=xi）＝pi，则称下表为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列．
2)分布列的性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
<1> pi≥0，i＝1，2，……2> p1＋p2＋……1．
3)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是，其中k=0，1，…，n．q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ~b（n，p）其中n，p为参数，记=b(k；n，p).
4）离散型随机变量ξ的期望：eξ=x1p1+x2p2+……xipi+…
5）离散型随机变量ξ的方差：
3. 若标准正态分布总体取值小于的概率用表示，即：
★★ 突破重难点。
范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第。
一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解(1)
所以的分布列为。
的数学期望e()=
2) p()=
分析提示：本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。
变式：袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
2)随机变量的概率分布和数学期望；
3)计分介于20分到40分之间的概率．
解：（）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则。
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为a”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以．
）由题意有可能的取值为：2，3，4，5．
所以随机变量的概率分布为。
因此的数学期望为。
ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则。
范例2】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是， ,
ⅰ)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望eξ．
解： (记"甲投篮1次投进"为事件a1 ， 乙投篮1次投进"为事件a2 ， 丙投篮1次投进"为事件a3，"3人都没有投进"为事件a ．则p(a1)=，p(a2)=，p(a3)=，p(a) =p(．．p()·p()·p()
1－p(a1)] 1－p (a2)] 1－p (a3)]=1－)(1－)(1－)=
3人都没有投进的概率为．
ⅱ)解法一： 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξb(3，)，
p(ξ=k)=c3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ，eξ=np = 3×=
解法二： ξ的概率分布为：
eξ=0×+1×+2×+3×=
分析提示：已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。
变式：假设每一架飞机引擎飞机中故障率为p，且个引擎是否发生故障是独立的，如果有至少50%的引擎能正常运行，问对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更安全？
解飞机成功飞行的概率：
4引擎飞机为：
2引擎飞机为：
要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，只要。
所以。范例3】某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司。
缴纳每辆900元的保险金。对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元。
的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）。设这三辆车在一年内发生此种事故的概率。
分别为且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：
1）获赔的概率；(4分)
2）获赔金额的分布列与期望。(9分)
解：设表示第辆车在一年内发生此种事故，．由题意知，，独立，且，，．
ⅰ）该单位一年内获赔的概率为。
ⅱ）的所有可能值为，，，
综上知，的分布列为。
求的期望有两种解法：
解法一：由的分布列得。
元）．解法二：设表示第辆车一年内的获赔金额，则有分布列。
故．同理得，．
综上有（元）．
变式：猎人在距离100米处射击一野兔，其命中率为0.5，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离150米。
如果第二次射击又未中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米。 已知猎人的命中概率与距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。
解记三次射击依次为事件a，b，c，其中，由，求得k=5000。
命中野兔的概率为。
配套练习。1．(湖南卷) 设随机变量服从标准正态分布，已知，则=（
a．0.025b．0.0c．0.950d．0.975
解：服从标准正态分布，
选c2．(安徽卷) 以表示标准正态总体在区间（）内取值的概率，若随机变量。
服从正态分布，则概率等于。
（ab）（cd）
解： =选b。
3．（湖北卷）连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量。
的夹角为，则的概率是（ ）
abcd．
解： 由向量夹角的定义，图形直观可得，当点位于直线上及其下方时，满足，点的总个数为个，而位于直线上及其下方。
的点有个，故所求概率，选c
4．（江西卷）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
解： 一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：
1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的。
有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选b
5. 15名新生，其中有3名优秀生，现随机将他们分到三个班级中去，每班5人，则每班都分到优秀生的概率是。
6. 如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是0.5， 且是相互独立的，则灯亮的概率为
7.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为。
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为。
250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
ⅰ）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
ⅱ）求的分布列及期望．
解：（ⅰ由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
ⅱ）的可能取值为元，元，元．
的分布列为。
元）．8. 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为。
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品**与产量的函数关系式如下表所示：
设分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量，表示当产量为。
而市场前景无法确定的利润．
i）分别求利润与产量的函数关系式；
ii）当产量确定时，求期望；
iii）试问产量取何值时，取得最大值．
(ⅰ)解：由题意可得。
l1= (q＞0).
同理可得 (q＞0)
2023年高考数学专题讲义 概率与统计
第十一讲概率与统计。高考在考什么。考题回放 1 重庆卷 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张 相同的概率为 a b cd 解 可从对立面考虑，即三张 均不相同，选c 2 辽宁卷 一个坛子里有编号为1，2，12的12个大小相同的球，其中1到6号球。...
2023年高考数学概率统计专题试卷
1 一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做试验计算圆周率，他们向一个边长为1米的正方形区域均匀撒豆，测得正方形区域有豆5120颗，正方形的内切圆区域有豆4009颗，则他们所测得的圆周率约为 保留三位有效数字 a 3 13 b 3 14c 3 15 d 3 16 2 如图所示，正方形的四个顶点分别为o...
2023年高考数学专题111概率文
概率。三年高考 1.2017课标1，文4 如图，正方形abcd内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是。abcd 答案 b 2.2017天津，文3 有5支彩笔 除颜色外无差别 颜色分别为红 黄 蓝 绿...