随机事件与概率。
一、随机试验与随机事件1、随机试验―2、样本空间―随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3、随即事件―样本空间的子集称为随机事件。二、事件之间的关系与事件的运算（一）事件的运算与关系1、事件的积―事件a和事件b都发生，称为事件a和事件b的积，记ab；2、事件的和―事件a或者事件b发生，称为事件a和事件b的和，记a+b；3、事件的差―事件a发生而事件b不发生，称事件a与事件b的差，记a-b；4、包含―若事件a发生则事件b一定发生，称a包含于b，记ab。
若ab且ba，则称两事件相等，记a=b；5、互斥（不相容）事件―若事件a和事件b不能同时发生，即ab=，称事件a和事件b不相容；6、对立事件―若ab=,a+b=,称事件a和事件b为对立事件。（二）事件运算的性质：1、（1）；（2）；2、（1）；（2）；3、（1）；（2）；（3）。
4、（1）；（2）。三、概率的定义与性质（一）概率的定义―设随机试验的样本空间为，满足如。
下条件的随机事件的函数称为所对应事件的概率：（1）对事件，有（非负性）；（2）（归一性）；（3）设为一列互不相容的随机事件，则有（可列可加性）。（二）性质1、；2、设为互不相容的有限个随机事件列，则；3、。
四、概率公式1、加法公式：，特别地，若，则；2、减法公式：，特别地，若，则；3、条件概率公式：
设是两个事件，且，则；4、乘法公式：设，则，更一般地，。五、事件的独立性1、两个事件的独立―设是两个事件，若，称事件相互独立。
2、三个事件的独立―设是三个事件，若，称事件相互独立。注解：相互独立的充分必要条件是任何一对相互独立。
六、全概率公式与bayes公式1、完备事件组―设事件组满足：（1）；（2），则称事件组为一个完备事件组。2、全概率公式：
设是一个完备事件组，且，为事件，则。3、贝叶斯公式：设为一个完备事件组，且，为任一随机事件，，则。
七、三种重要的概率类型1、古典概型―若随机试验满足如下两个条件：（1）样本空间中只有有限个样本点；（2）
样本空间中每个样本点发生是等可能的，这样的随机试验称为古典概型。设为任一随机事件，则。2、几何概型―若样本空间为欧氏空间，且所有样本点等可能出现，该随机试验称为几何概型，设为随机事件，则。
3、贝努利概型―若随机试验只有两个可能的结果，且每次试验的可能结果与可能结果的概率保持不变，这样的试验称为贝努利试验。设，则次试验中事件发生次的概率为。例题选讲。
一、填空题：1、设，（1）若不相容，则；（2）若相互独立，则。2、设，则事件全不发生的概率为。
3、设两两相互独立的事件满足：，且有，则。4、设事件满足，且，则。
5、设为两个相互独立的随机事件，且都不发生的概率为，发生不发生的概率与不发生发生的概率相等，则。二、选择题：1、设是两个随机事件，且，则[ ]2、设事件满足，且，则[ ]事件对立；事件相互独立；事件不相互独立；事件不相容。
三、解答题1、一批产品共有10个**和2个次品，任意抽取2次，每次抽取一个，抽取后不放回，求第二次抽。
取的是次品的的概率。2、设工厂与工厂的次品率分别为1%和2%，现从由和生产的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品是生产的概率。3、设事件在每次试验中的概率为，三次独立重复试验中事件至少出现一次的概率为，求事件发生的概率。
4、甲乙两人独立对同一目标射击一次，命中率分别为50%和60%，已知目标被命中，求是甲命中的概率。第二讲一维随机变量及其分布。
一、基本概念1、随机变量―设，，对任意的，总存在唯一确定的与之对应，称为随机变量，若的可能取值为有限个或可列个，称为离散型随机变量，若在某可区间上连续取值，称为连续型随机变量。2、分布函数―设为一个随机变量，称函数为随机变量的分布函数。注解：
分布函数的性质有（1）；（2）；（3）；（4）。3、离散型随机变量的分布律―4、连续型随机变量的密度函数―二、常见离散型随机变量及其分布律1、（0―1）分布― 2、二项分布― 3、poisson分布― 4、几何分布。
三、常见的连续型随机。
变量及其分布密度1、均匀分布―若随机变量的密度函数为，称随机变量服从均匀分布，记为，其分布函数为。2、正态分布―若随机变量的密度函数为，称随机变量服从正态分布，记为，特别地，若，称随机变量服从标准正态分布，记为，其密度为，其分布函数为。3、指数分布―若随机变量的密度为，称随机变量服从指数分布，记为，其分布函数为。
四、随机变量函数的分布例题选讲。
一、选择题1、设的密度为，分布函数为，下列结论正确的是[ ]为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数；为某随机变量的分布函数；为某随机变量的密度函数。2、设随机变量的密度函数为偶函数，其分布函数为，则为偶函数；；；3、设，令，则对任意实数都有；对任意实数都有；对个别，才有；对任意实数，都有。4、设，则随的增大，概率[ ]单调增大；单调减少；保持不变；增减不确定。
二、填空题1、。2、。三、解答题1、有3个盒子，第1个盒子有4个红球1个黑球，第2个盒子有3个红球。
2个黑球，第3个盒子有2个红球3个黑球，若任取一个盒子，从中任取3个求，以表示红球个数。（1）写处的分布律；（2）求红球个数不少于2个的概率。[解]令，则，随机变量的可能取值为。
，，则的分布律为。2、设离散型随机变量的分布函数为，求的分布律。3、设的分布函数为，（1）求；（2）求密度函数；（3）求。
[解]（1）因为为连续函数，所以，从而可得。（2）。（3）。
4、设，求随机变量的概率密度。5、设，且，求随机变量的概率密度。第三讲二维随机变量及其分布基本概念1、二维随机变量―设为两个随机变量，由其组成的随机变量称为二维随机变量。
2、联合分布函数―设为二维随机变量，称为的联合分布函数。3、二维离散型随机变量的联合分布律―设为二维离散型随机变量，称为的联合分布律，称分别为随机变量的边际分布律。4、连续型随机变量的联合密度函数―设为二维连续型随机变量，若存在，使得，称为随机变量的联合密度函数，称分别为随机变量的边际密度函数。
注解：联。
合分布函数的性质1、；2、；3、关于或者都是单调不减且右连续的函数；4、。二、常见的二维连续型随机变量1、均匀分布―设二维连续型随机变量的联合密度为，其中为区域的面积，称在区域上服从均匀分布。2、正态分布―设二维连续型随机变量的联合密度为则称服从二维正态分布，记为，其中。
注解：若，则。三、随机变量的条件分布（一）二维离散型随机变量的条件分布1、设，在事件发生的情况下，事件发生的条件概率为；2、设，在事件发生的情况下，事件发生的条件概率为。
（二）二维连续型随机变量的条件密度1、设，则在“”的条件下，的条件概率密度为；2、设，则在“”的条件下，的条件概率密度为。四、随机变量的独立性1、定义―设为二维随机变量，若对任意的都有，称随机变量相互独立。2、独立的充分必要条件（1）离散型随机变量―设为二维离散型随机变量，则相互独立的充要条件是。
（2）连续型随机变量―设为二维连续型随机变量，则相互独立的充要条件是（可以除去有限。
个点）。例题选讲。
一、选择题1、设相互独立的随机变量分别服从及，则[ ]二、填空题1、设为两个随机变量，且，则。三、解答题1、袋中有10个大小相同的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次抽取1个，定义如下两个随机变量：，就下列两种情况，求的联合分布律：
（1）每次抽取后放回；（2）每次抽取后不放回。[解]（1），；2），。2、设的联合密度为，求（1）常数；（2）的分布函数；（3）的分布函数；（4）。
[解]（1）；（2）当时，，所以。（3），当时，，当时，，所以。（4），。
3、设随机变量，求随机变量的分布函数。[解]，当时，，，当时，，，所以。第四讲随机变量的数字特征。
一、数学期望及其性质（一）数学期望的定义1、离散型随机变量的数学期望―设随机变量的分布律为，则其数学期望为。2、连续型随机变量的数学期望―设连续型随机变量的概率密度为，则其数学期望为。3、二维离散型随机变量的数学期望―设离散型随机变量的联合分布律为，则。
4、二维连续型随机变量的数学期望―设二维连续型随机变量的密度为，则。（二）数学期望的性质1、；2、；3、；4、；5、若随机变量相互独立，则。二、方差的定义及性质（一）定义―。
（二）性质1、；2、；3、；4、设随机变量相互独立，则。三、常见随机变量的数学期望和方差1、二项分布：；2、泊松分布：
；3、均匀分布：。4、正态分布：。四、协方差与相关系数（一）定义1、协方差―。
2、相关系数―，若，称随机变量不相关。（二）性质1、；2、；3、；4、；5、。注解：
若随机变量相互独立，则一定不相关，反之不对。例题选讲。
一、填空题1、设随机变量相互独立，且，则。2、随机变量，则。3、设独立同分布，且都服从，则。
4、设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为，则。5、设随机变量的密度为，则。6、设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则。
二、解答题1、设，，（1）求的联合分布律；（2）。[解]，（1），（2）。2、设，且，（1）求的联合分布律；（2）问是否。
相互独立？为什么？[解]（1）因为，所以，，。
2）因为，所以不相互独立。3、设，求（1）的联合分布律；（2）。[解]（1）的可能取值为，，，2），。
4、试验成功的概率为，独立重复试验直到成功2次为止，以表示所需要进行的试验次数，求的概率分布与数学期望。[解]，，则。5、设的密度函数为，对独立重复观察4次，表示观察值大于的次数，求。
[解]因为，所以。第五讲大数定律与中心极限定理。
一、车比雪夫不等式设随机变量的方差存在，则对任意的，有，或者。大数定律1、（车比雪夫大数定律）设随机变量相互独立，存在且，则对任意的，有。
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