第一章行列式。
一、重点 1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。
2、掌握：行列式的基本性质及推论。
3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。
二、难点 行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。
三、重要公式
1、若a为n阶方阵，则│ka│= kn│a│
2、若a、b均为n阶方阵，则│ab│=│a│·│b│
3、若a为n阶方阵，则│a*│=a│n-1
若a为n阶可逆阵，则│a-1│=│a│-1
4、若a为n阶方阵，λi（i=1,2,…,n）是a的特征值，│a│＝∏i
四、题型及解题思路
1、有关行列式概念与性质的命题
2、行列式的计算（方法）
1）利用定义
2）按某行（列）展开使行列式降阶
3）利用行列式的性质
各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。
各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。
逐次行（列）相加减，化简行列式。
把行列式拆成几个行列式的和差。
4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的行列式
5）数学归纳法，多用于证明
3、运用克莱姆法则求解线性方程组
若d =│a│≠0，则ax=b有唯一解，即
x1=d1/d，x2= d2/d，…，xn= dn/d
其中dj是把d中xj的系数换成常数项。
注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。
4、运用系数行列式│a│判别方程组解的问题
1）当│a│＝0时，齐次方程组ax＝0有非零解；非齐次方程组ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）
2）当│a│≠0时，齐次方程组ax＝0仅有零解；非齐次方程组ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法则求出。
第二章矩阵
一、重点 1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）
2、掌握：
1）矩阵的各种运算及运算规律
2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法
3）矩阵的初等变换方法
二、难点 1、矩阵的求逆矩阵的初等变换
2、初等变换与初等矩阵的关系
三、重要公式及难点解析
1、线性运算
1）交换律一般不成立，即ab≠ba
2）一些代数恒等式不能直接套用，如设a，b，c均为n阶矩阵
a+b)2=a2+ab+ba+b2≠a2+2ab+b2
ab)2=(ab)(ab)≠a2b2
ab)k≠akbk
a+b)(a-b)≠a2-b2
以上各式当且仅当a与b可交换，即ab=ba时才成立。
3）由ab=0不能得出a=0或b=0
4）由ab=ac不能得出b=c
5）由a2=a不能得出a=i或a=0
6）由a2=0不能得出a=0
7）数乘矩阵与数乘行列式的区别
2、逆矩阵
1）(a–1)–1＝a
2）(ka) –1=(1/k)a–1，（k≠0）
3）(ab)–1=b–1a–1
4）(a–1)t=(at)–1
5）│a–1│=│a│–1
3、矩阵转置
1）(at)t＝a
2）(ka) t=kat，（k为任意实数）
3）(ab)t=btat
4）(a+b)t=at+bt
4、伴随矩阵
1）a*a＝a a*=│a│i (ab)*=b*a*
2）(a*)*a│n-2 │a*│=a│n-1 ,(n≥2)
3）(ka)*=kn-1a* (a*)t=(at)*
4）若r(a)=n，则r (a*)=n
若r(a)=n-1，则r (a*)=1
若r(a)5）若a可逆，则(a*)-1=(1/│a│)a，(a*)-1＝(a-1)*，a*＝│a│a-1
5、初等变换（三种）
1）对调二行（列）
2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素
3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素
注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用
求逆阵，只能用行或列变换
求线性方程组的解，只能用行变换
6、初等矩阵
1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵
2）初等阵p左（右）乘a，所得pa（ap）就是a作了一次与p同样的行（列）变换
3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵
e-1ij=eij，e(-1)i(k)=ei(1/k)，e(-1)ij(k)=eij(-k)
7、矩阵方程
1）含有未知矩阵的等式
2）矩阵方程有解的充要条件
ax=b有解<==b的每列可由a的列向量线性表示
==>r(a)=r(a┆b)
四、题型及解题思路
1、有关矩阵的概念及性质的命题
2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）
3、矩阵可逆的判定
n阶方阵a可逆<==存在n阶方阵b，有ab=ba=i
==>a│≠0
==>r(a)=n
==>a的列（行）向量组线性无关
==>ax=0只有零解
==>任意b，使得ax=b总有唯一解
==>a的特征值全不为零
4、矩阵求逆
1）定义法：找出b使ab=i或ba=i
2）伴随阵法：a-1=(1/│a│)a*
注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在a*中，计算aij时不要遗漏(-1)i+j，当n>3时，通常用初等变换法。
3）初等变换法：对(a┆i)只用行变换化为(i┆a-1)
4）分块矩阵法
5、解矩阵方程ax=b
1）若a可逆，则x=a-1b，可先求出a-1，再作乘法a-1b求出x
2）若a可逆，可用初等变换法直接求出x
a┆b)初等行变换(i┆x)
3）若a不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。
第三章线性方程组
一、重点 1、理解：向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出，极大线性无关组的概念，线性相关与线性无关的概念，向量组的秩的概念，矩阵的秩的概。
念及性质，基础解系的概念。
2、掌握：向量的运算及运算规律，矩阵秩的计算，齐次、非齐次线性方程组解的结构。
3、运用：线性相关、线性无关的判定，线性方程组解的判断，齐次、非齐次线性方程组的解法。
二、难点 线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。
三、重点难点解析
1、 n维向量的概念与运算
1） 概念
2） 运算
若α＝(a1,a2,…,an)t，β＝b1,b2,…,bn)t
加法：α＋a1+b1 ,a2+b2 ,…an+bn)t
数乘：kα＝(ka1,ka2,…,kan)t
内积：（αa1b1+a2b2+,…anbn＝αtβ＝βtα
2、线性组合与线性表出
3、线性相关与线性无关
1）概念 2）线性相关与线性无关的充要条件
线性相关 1,α2,…,s线性相关
==>齐次方程组(α1,α2,…,s)(x1,x2,…,xs)t＝0有非零解
==>向量组的秩r(α1,α2,…,s)＜s (向量的个数)
==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出
特别的：n个n维向量线性相关<==1α2…αn│＝0
n+1个n维向量一定线性相关
线性无关 1,α2,…,s线性无关
==>齐次方程组(α1,α2,…,s)(x1,x2,…,xs)t＝0只有零解
==>向量组的秩r(α1,α2,…,s)＝s (向量的个数)
==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出。
重要结论 a、阶梯形向量组一定线性无关
b、若α1,α2,…,s线性无关，则它的任一个部分组αi1,αi2,…,i t必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。
c、两两正交，非零的向量组必线性无关。
4、向量组的秩与矩阵的秩
1）极大线性无关组的概念
2）向量组的秩
3）矩阵的秩
r(a)＝r(at)
r(a+b)≤r(a)＋r(b)
r(ka)＝r(a)，k≠0
r(ab)≤min(r(a)，r(b))
如a可逆，则r(ab)＝r(b)；如b可逆，则r(ab)＝r(a)
a是m×n阵，b是n×p阵，如ab＝0，则r(a)＋r(b)≤n
4）向量组的秩与矩阵的秩的关系
r(a)＝a的行秩（矩阵a的行向量组的秩）＝a的列秩（矩阵a的列向量组的秩）
经初等变换矩阵、向量组的秩均不变
若向量组（ⅰ）可由（ⅱ）线性表出，则r(ⅰ)r(ⅱ)特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
5、基础解系的概念及求法
1）概念 2）求法
对a作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有r(a)个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量。
共有n- r(a)个），对自由变量阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。
6、齐次方程组有非零解的判定
1）设a是m×n矩阵，ax＝0有非零解的充要条件是r(a)＜n，亦即a的列向量线性相关。
2）若a为n阶矩阵，ax＝0有非零解的充要条件是│a│＝0
3）ax＝0有非零解的充分条件是m＜n，即方程个数＜未知数个数
7、非齐次线性方程组有解的判定
1）设a是m×n矩阵，ax＝b有解的充要条件是系数矩阵a的秩等于增广矩阵（a增）的秩，即r(a)＝r(a增)
2）设a是m×n矩阵，方程组ax＝b
有唯一解<==r(a)＝r(a增)＝n
有无穷多解<==r(a)＝r(a增)
无解<==r(a)+1=r(a增)
8、非齐次线性方程组解的结构
如n元线性方程组ax＝b有解，设，η2,…,t是相应齐次方程组ax＝0的基础解系，ξ是ax＝b的一个解，则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是ax＝b的通解。
1）若ξ1，ξ2是ax＝b的解，则ξ1-ξ2是ax＝0的解
2）若ξ是ax＝b的解，η是ax＝0的解，则ξ+kη仍是ax＝b的解
3）若ax＝b有唯一解，则ax＝0只有零解；反之，当ax＝0只有零解时，ax＝b没有无穷多解（可能无解，也可能只有唯一解）
四、题型及解题思路
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