2023年考研数学《概率统计》讲义第四讲

第一个，就是从两年之前开始，考研和高考开始进行了入围的命题；

第二，从06年开始，实际上从05年开始，作为全国性考试的各个命题组，对60岁以上的老先生加以限制。这表明第一，考研命题的保密性加强，那也就是说避免了很多压题的现象，也避免了漏题的现象，而命题组成员的年轻化，肯定对考研命题带来一定的影响。

但是无论如何，作为考研的同学来说，每人应该知道他要命什么题。不论你参加英语、数学、政治的考试，要做到一个心中有数。由于考研它不是一个纯粹上的水平考试，因此考研命题的范围一般是在0.

3~0.8之间。换句话说，太容易的题目绝对不考，而很难的题目也绝对不考。

那么作为数学，微积分，或叫做高等数学，线性代数和概率统计，它们整个的分布又不一样。我个人认为，那么作为微积分，或叫做高等数学，因为目前数学一二还叫高等数学，数学三四叫微积分。它们命题的特点基本属于正态分布，也就是偏难和偏容易的比较少，中间的比较多，通过率一般是0.

5和0.6左右。而相对来说，线性代数偏容易一些，容易得分，。

而概率论，往往会出现通过率低于0.3的题，0.2的题也曾出现过。

因此大家会有或这样的感觉——微积分的复习相对容易一些，但是里面的技巧性比较高，因此我们要对微积分的总结是什么态度呢？那就要做到熟能生巧，就是说你先得熟悉。而线性代数，它里面的难点不太多，因此只要认真仔细就能得高分。

下面我们讲概率统计，在座的每人都学过，大伙都知道，概率统计的得分为什么历年考研当中都很低，不是同学学得不好，也不是题目出得太难，主要是一些思想思考方法，它不同于微积分及线性代数。特别是题意的理解是非常重要的，那么下面我们把今天所要讲的几个问题说一下。

我们赶写了一个有关数学考研的复习指导，这里面我首先把有关的概率统计的八章内容按照大纲的要求给列了一下。实际上呢，我是按五讲来写的，但是概率论和数理统计考研的内容相对起来是最多的。为什么？

它包括初等概率论的五章，作为数一和数三还要包括数理统计的三章。需要指出的是，这儿的概率论是初等概率论。什么叫初等概率论？

就是建立在微积分基础上和排列组合基础上的概率论叫初等概率论。而我们后面的数理统计只是数理统计的一些基础知识。因为从考研的来讲，八章内容，线性代数没这么多，而考的分值又不是很高。

在这种情况下，概率论与数理统计得分就非常重要，别的都好得，大家都可以得上，而概率论来讲，要多得肯定有好处。那么这种情况下，八章怎么办？我们要把八章当中的重点章给点出来。

什么是重点章——那就是每年百分之百考的。如果知道那是重点的？——可以从历年的统计中得到的。

因此，作为复习来讲，要掌握八个字，“全面复习，重点突出”。什么叫“全面复习”？微积分和线性代数好说，内容非常清楚，换句话说几乎很难超纲。

而概率论和数理统计，特别是初等概率论部分，超纲内容太多，因此，我每年对概率论和数理统计的**，我可以说是几乎百分之百，因为我不扣题和压题。那就是说，这么多年下来，有没有失误的时候呢？你的**有没有错误的时候？

有，我99年对一个概念，就是切比雪夫不等式，这就是我们第五章的一个基本内容，因为从八十年代以来，这样一个考核点是非常偏的。因此，89年考过之后，我每年都说切比雪夫不等式明年考的概率为0。结果2023年，数一也考，数三也考，数四也考，我真没想到。

当然我首先声明我从来没有命过考研试题，不管谁宣传，我先说清楚了。我没命过考研试题，因为命考研试题的老师不能参加辅导。但是我命过其他试题，那么在这种情况下，对考研命题组情况我是了解的，因为以前他们不入围，等我们这个命题组撤出的时候，他们可能散会。

而作为组长，我得留下几天和他们碰碰面。我深知考研命题组的一和。

二、三和四是两个命题组，他们之间不串联，甚至名词都不一样。数一和数二叫最大绝缘法，数三和数四叫极大绝缘法。数一和数二命题叫简单随机样本，数三和数四就叫样本，名词上都不一样。

但是我忘了，在那一年开始，数一和数三数四的命题组合并到一块，我没注意到。那么当年数一和数三数四考完这个质点之后，没有一个同学来找我，为什么？因为概率论为0的事情也可能发生。

说明学生概率学得好，但是我很内疚。后来发现，数学四的大纲上根本就没有切提雪夫不等式。后来我打**问了命题组有关的同志，也问了一些有关的领导。

他们说了一句话——大纲上也没说不考啊。于是从那年开始，我得到一个经验教训：一定要全面复习。

怎么样全面复习？第一，大纲上的内容必须要知道，并不是学过的内容就是大纲上的内容，这可不是一回事；第二，还要把历年的试题加以统计，举个例子，作为随机变量，我讲的是一维的，既非离散又非连续的随机变量，在座的不管哪个学校，包括北大和清华，我们肯定不讲。作为随机变量，常见的是离散型，另外还有一类是连续型，那么至于既非离散又非连续的在我们日常生活中见得不多，我们就不讲了，大纲上也没有。

但是据我统计，除去95年，97年、99年、2023年甚至最近两年也在考，只不过考得全不一样。我们只能给考研班也讲，为什么？因为你不讲而它考了，这就是一个空白，就不叫全面复习。

那也就是说，所谓全面复习，要包括大纲上的基本要求和基本内容，还要包括历年考试当中遇到过的有关的一些知识点。

下一个问题，大纲上明确要求的你应该知道，包括试卷明确要求的。比如说，前几年，很多人都问我，在概率统计当中，有一些离散型变量，那么自然数从几开始，我很难回答。因为自然数一般是从1开始的，但是，作为高教出版社，从98年以后出版的所有教材，自然数都必须从0开始。

那么考研呢，至今没有确定。但是在考研当中有这样一条声明——正切的符号不再是tg，而是tan，这些常识要知道，这就是考研当中的一些规定。他写tan，我写tg,不扣分，因为这是一种习惯。

类似情况太多了，但是人家写出你要认识，这是我要讲的问题。这是试卷当中提出的一点。还有一点，就是最近几年最麻烦的问题。

大家考虑一下目前学过的一些表达当中，比如说，t分布表的规定是很麻烦的，我查了很多书，在工科里它是单侧拟值表，或者说上分位数或下分位数，都可以。在经济学里还叫做双侧拟值表，它里面的，就是两块内值的。那么作为九十年代末数学一的考试，也是t分布表，在试卷里面，从负无穷到这一点叫tpn，这块面积叫t，那我们怎么复习？

很难办，而且让人很难想象，作为全国性的考试，出现了这种问题了。下边我以一道题为例，先说，如果你是数一考试，考工程数学，工科数学，这么答没问题。但是，它实质上考的是数三考试，注意，我们的习惯都是双侧拟值表，经济数学基础，人大的，好多书上都是说双侧拟值表。

给数三出了一道考题，但是他让你用单侧拟值表。这就是05年的考题，当时一看这道题，我真有点晕了，同学没法回答。原因在于如果你是考数一的同学，你用单侧拟值表，没有意见，大家就是这么学的。

但是这可是给数三出的。同学们怎么办？我们来看一下，当时是怎么出的。

这是一个所谓的查表题，它实际上是考查了一个数三的查表的问题，这是05年数三的第二大题的14题。它的目的是让你查这个表来回答，它的答案是c，他公布的答案是c。但是对大部分数三的同学学的是双侧分布表，或者说是双侧拟值表，答案应该为d。

那怎么办？单项选择题，按道理讲，单项选择答案只有a、b、c、d中的一个，现在出现两个怎么办？而且按照国家标准表公布的答案，以上四个答案都不对。

我也觉得出问题了，而类似问题，概率统计当中经常出现一些小错误。大概每隔两年至少有一次。包括***括原题，据说人大的两个老师就找到考研中心反映，之后考试中心在阅卷之前规定，答案由c改为c或d。

按照国家标准表，以上四个答案都不对，那就是说，同学会做和不会做的都应该给分，因为你把我搅乱了。后来我在想，06年大纲肯定会有这个声明，结果没有。大纲里没有规定，但是我查了一下，有关了考试中心出的一本所谓的试题分析，它上面已经声明，在今年的考试当中，这道题答案是c，但是不少同学用到了双侧拟值表，因此答案是d，今后凡是不声明者，一律使用这个表。

我觉得太武断了。所以有些时候，我们辅导老师不仅要研究考题，还要看今年谁去命题，他习惯用哪个表，包括象这种规定，叫做不成文的规定。大纲里没有，给同学们怎么讲？

于是这两年里我就专门讲这种表，包括什么东西，包括咱们的正态分布。那么，正态分布什么样，任何人都知道，这个属于表，这是我们熟悉的一个表。但是，我们要注意，最近考试咱们出的表，这叫，这叫。

看看最近几年命的题目，还有什么特点，数一数三命的数理统计题，叫简单随机样本，注意数字怎么改，假设独立同分布，这就把数一数三的统计题目改为数学的概率题目。这就是可以偷懒了，数一数三的题目改一下就成数四的题目了，这个特点这两年也出现了。

那么基于这两年的一些命题的特点，因此我们的复习要加以改变。但是什么不变？整个命题的思想不要变。

98年以后，考试中心规定，以后历年的命题的方向叫做“稳中求改”。什么叫稳？大纲基本不变。

因此，我们就书复习，就拿着年的大纲复习就够了，没必要等到六月份以后，不见新大纲，就不复习，那可就晚了。再讲一个故事，去年政治和英语的大纲下来了，数学大纲迟迟不下，于是猜的人很多，大纲是要变化了？数三数四是不是要合并了？

但是我相信既然97年之后大纲基本不变，我想不会有什么变化。但是后来，为什么迟几个星期才发出来？其实就是一个数学一二三四考试当中发生了一点变化。

有些管理学科要考数学一，就是这么简单，但它要经过有关的司级要批准，还要经过副部长签字生效才能进入大纲。于是有人问，明年数三数四是不是要合并？我不敢回答。

我只能这么说，六月份看高等数学大纲来定，但是这件事情已经炒了很多年了，问题出在命题组的意见不大，他们也基本上同意合并，考试中心也基本同意，但是这样一件事情要经过学生司批准。所以说，一个大纲的比较大的变动绝对不是一个小事情，那么在这种情况下，我们大家的复习依然仍然按照去年大纲来进行。

后一个，就是明天考题是难还是容易？要注意一条，考研命题是根据当年考研群体来命的，而不是随意命的，它不是水平考试。那么目前由于考研人数也增加的越来越多，在这种情况下，整个的考研群体的水平在下降。

因为历年考生和一些大专考生也加进来了。在这个情况下，我可以说，明年的考题肯定比今年的考题容易一些，但是容易多少不好说，要看整个**。

我个人感觉到，概率统计虽然出题偏容易一点，但是总的来讲，概率统计保持一个水平。下面呢，我就把整个概率统计的复习加一点时间讨论一下：

赵老师把整个的复习分成三个阶段，概率统计其实一样。作为第一个阶段，我们应该叫做基础阶段， 06年6月份以前，要想考研不是说从今年三月份开始就可以了，我认为从你考上大学那天开始，你就应该开始了，好好听课，别等到现在都忘得差不多了。所以说呢，第一阶段是没有起点的，那么这一段作为概率统计怎么复习？

不能拿着我过去学过的课本来看一看，做一做就不管了。为什么？第一，你所学过的东西我们不一定考，考的很多东西都没有学过，比如怎么判断连续性随机变量独立性呢？

有人说我求边缘密度。边缘密度的乘积等于联合密度就叫独立，我说对，但考研不能就这样出题，它要的是新的方法，我们讲的基本概念，基本公式，基本方法要掌握。但你没有学过的方法也应该掌握，举个例子：

对于它怎么判断变量间是否相互独立，有人说要先求出c,然后求边缘密度。让我说，先看区域是不是矩形或广义矩形，如果是，那符合第一个必要条件；再看能不能分离变量，这题能分，分成和 ,满足条件，所以变量x,y独立。这就是方法。

要掌握一些基本方法，而这些方法就是从我们学过的二重积分在什么情况下能够写成两个定积分相乘的形式中得到，我们可以把概率论和微积分合在一起复习，这样才能看出来是否独立。这就叫基本方法掌握。而基本概念不要你去背，要把概率论当中的所有基本概念理清楚，比如说每章讲什么，我们会把有关的知识网络图给大家，特别是下边重点考核点的分布。

注意重点，次重点，考核点。首先声明第一章不是考研重点章，第三章、第四章和第七章是。第三讲为随机变量是重点章。

第四讲是随机变量的数字特征，这是重点章。多维和数字特征是初等概率论的重点章，每年必考。数一数三还考统计，统计后面三章，因为第四讲当中牵扯到两个内容，一个是第四章的数字特征，一个是第五章的中心极限定理，那么统计一共三章：

基本概念、参数估计和假设检验为重点，大家看一下最近几年的统计给，然后对明年进行一下**，做到心中有数。因为同学不了解各章之间的关系，所以我们要知道哪些是重点章。作为章节来讲，一共八章，概率是五章，数理统计是三章，三，四，七是重点章，作为第一讲第一章，随机事件概率一般来说它不单独命题，特别是不单独命大题。

在数一和数三，在小题的情况下，事件之间的关系和运算是重点。事件之间有四个基本关系，三种基本运算，比如 a与b的差是运算但不是基本运算，这些就是我们要把重点的概念讲清楚，要分清楚运算和关系，关系是指包含、等价、互斥和独立，重点是独立！弄清楚每章的重点考点，在全面复习阶段把这些掌握住，任务就完成了。

第一章尽量少做题，因为不怎么考。

我们要把重点章说清楚，每章的重点弄清楚。这次发的资料是概率统计讲义中前边的内容。每章的重点都有，就不再一一讲了，作为第一部分，我们应该复习这些基本概念、基本公式和基本方法。

在第一章我找了三大公式和三大概型。加法、乘法和全概；古典、几何和二项。几何概型是重点，几乎每年都会考，因为凡是一维二维的积分分布都可以使用概型。

看道例题，这题是我们过去考过的一道题，01年的，十二大题（讲解见**）

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