第一章。一、排列组合。
3.组合：注：0!=1.
二、随机事件及其概率。
1、概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科。
2、随机现象是通过随机试验来研究的。
3．样本空间、样本点。
4、随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件。
5、事件之间的关系及运算律。
含义：a发生，则b一定发生。
含义：a,b至少一个发生，or a发生或b发生。
含义：a,b同时发生，or a发生且b发生。
a,b互不相容 (互斥)，含义：a,b不同时发生。
a的逆事件或对立事件，含义：a发生，但b不发生。
（对偶律）例1、用a、b、c表示如下事件。
1）a、b、c 至少有一个发生
2）a、b、c 恰有一个发生
3）a、b、c 至多有两个发生
例2、一个工人生产了3个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品，i=1,2,3，试用（i=1,2,3）表示下列事件：
6.频数与频率：
在相同的条件下，进行了 n 次试验：
7. 概率的统计定义：大量重复同一试验时事件a发生频率的稳定值。
8. 概率的公理化定义：
9. 概率的性质：
有限可加性。
特别，若ab=φ（互不相容），则。
（3减法公式）
特别若，则。
对三个事件，例3、解：（1）
概率统计讲义提纲。
第一章。三、古典概型。
样本点有限（n个）：
等可能性：
古典概率：
例1. 甲、乙两人连续赌四次，每次双方赢的机会均相同，求乙连续赢 4 次的概率？
解：a——乙连赢4次。
k=1所以 p(a)=1/16
例2. 有100件同类型同批次的产品，按性能分成两类：甲40件，乙60件。现从中抽取三次，每次任取一件，求取出的三件中有甲两件，乙一件的概率？
考虑两种情形： i）有放回抽样 ii）不放回抽样。
解：a——取出的三件中甲两件，乙一件。
i）有放回抽样：用可重复排列求解。
ii）不放回抽样（解法一）：用选排列求解。
不放回抽样（解法二）一次一件不放回，相当于一次取三件，用组合求解。
例3、放球问题（放球模型）
将 n 个不同编号的球随机放入 n (n≥n) 个盒子中，每球以相同的概率放入盒子，盒子容量不限，令：
a1——某指定的 n 个盒子中各有一球；
a2——恰有 n 个盒子中各有一球；
a3——至少有两球在同一个盒子中；
求：p(ai)，i = 1,2,3。
解：可能数（所有可能放法数）
a1——某指定的 n 个盒子中各有一球；
a2——恰有 n 个盒子中各有一球；
a3——至少有两球在同一个盒子中；
应用：生日问题。
有 n 个人，设每个人的生日是 365 天的任何一天是等可能的。( n < 365 )
试求：事件 “至少有两人同天生日” 的概率。
分析：一年365天，即365个盒子，一个盒子对应一天，至少两人同天生日”——至少两球在同一盒子中”
n = 人数< 365。若n = 55，则p = 0.99
例4. （抽签问题）设袋中有 a 只白球，b 只红球，形状相同，从袋中将球随机地一只只摸出来，求第 i 次摸到白球的概率。
解：ai ——第 i 次摸到白球。
e——摸球（不放回），即对a+b 个球做全排列。
可见结果与抽签顺序无关。
古典概型注意事项》
1）“等可能性”——大多对应着“任取”、“随机选取”、“质地均匀”、“形状相同”等描述；
2）在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏，例如：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件a）的概率是多少？
正确的做法是：
或者。3）许多问题提法不同，但可归结为一类模型；
4）应用概率的加法公式、减法公式或逆事件概率公式，有时可简化计算。
练习1 从一批由37件**，3件次品组成的产品中任取3件产品， 求。
1）3件中恰有一件次品(a1)的概率；
2）3件全是次品(a2)的概率；
3）3件全是**(a3)的概率；
4）3件中至少有1件次品(a4)的概率；
5）3件中至少有2件次品(a5)的概率。
解：练习2、某城市有50％住户订**，有65％住户订晚报，有85％住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订两种报纸的住户的概率。
解：设 a：住户订**p(a)= 50％
b：住户订晚报p(b)= 65％
住户至少订这两种报纸中的一种，即： p(a∪b)= 85％
住户同时订两种报纸为ab，即求：p(ab)
所以由。可得。
练习3、盒中有 6 张面值相同的债券，其中有两张中奖债券，现从中任取两次，每次取一张，考虑两种取法： (1) 有放回 (2) 不放回。
求：两种抽样方式下取到的两张都是中奖的债券的概率？
解：(1) 有放回地抽取。
设a：取到的两张都是中奖券。
n: 第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是有 6 张券可供抽取，故有：
k：中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取，第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
因此，2）不放回地抽取。
设a：取到的两张都是中奖券。
nk：所以。
或用组合进行计算：“不放回抽取两次，每次取一张” 相当于 “一次抽取两张”。
作业：习题一4. 设事件a,b,c同时发生时，事件d一定发生，试证：
证明：由于事件a,b,c同时发生时，事件d一定发生，故。由单调性，四、条件概率：
1.条件概率定义。
—已知事件a发生的条件下，事件b发生的条件概率。
注：条件概率满足 （1）非负性2）规范性。
3）可列可加性：若两两互不相容，则。
2.常用性质：
3.条件概率的计算。
1）用定义作为条件的事件b发生的概率做分母）
2把b看做缩减后的样本空间）
例1、盒中一等品3只，二等品1只，不放回任取两次，每次一件，求下列概率：
1）第二次取到一等品。
2）第一次取到一等品，且第二次也取到一等品。
3）第一次取到一等品的条件下，第二次也取到一等品。
解：设：ai ——第i次取到一等品，i=1,2.
则所求为：1) p(a2) 2) p(a1a2) 3) p(a2|a1)
1）由抽签的公平性，知第二次与第一次取到一等品的概率一样，2或。
3）方法一（按定义计算）
方法二（在缩减的样本空间中计算）
例2、按设计要求，某建筑物使用超过50年的概率为0.8，超过60年的概率为0.7，若该建筑已经使用了50年，求它在10年内倒塌的概率。
解：设a ——该建筑物使用超过50年。
b ——该建筑物使用超过60年。
由题，p(a)=0.8，p(b)=0.7，所求为
五、乘法定理。
设 p(b)>0 或 p(a)>0，则：
推广其中： p(ab)>0
注：应用乘法定理时，事件顺序按试验进行步骤进行，条件概率按含义直接求。
例3、一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽签的方法来解决。5张同样的卡片只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。
现将它们放在一起洗匀，让5个人依次抽取。
问：后抽的人确实比先抽的人吃亏吗？（用乘法定理解释之）
解：设ai表示“第i个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5
则表示第i个人未抽到入场券。
显然即第一个人抽中的概率是1/5;
由于。所以。
即第二个人抽中的概率是1/5;
同理，＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5
继续做下去就会发现， 每个人抽到“入场券” 的概率都是 1/5。
概率统计讲义提纲。
第一章。六、全概率公式与贝叶斯公式。
1、全概率公式。
引例。有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球。
求： 取得红球的概率。
解：记 bi =，i =1,2,3
a=a发生总是伴随着b1，b2，b3之一同时发生，即。
且： b1a，b2 a，b3 a 两两互斥，则有。
所以，定义：称b1，b2，……bn是样本空间 s 的一个划分，若。
全概率公式：
其中，b1，b2，……bn是样本空间 s 的一个划分。
注：全概率公式用于“用条件概率求无条件概率”。
解题框图为：
例1、某工厂有四条流水线生产同一种产品， 四条流水线的产量分别占该产品总产量的15%，20%，25%，40%，且四条流水线生产产品的次品率分别是：
0.01, 0.02, 0.03, 0.025,求：从出厂的这种产品中任取一件，恰是次品的概率。
解：因为抽出的产品只能出自这四条流水线，故设：
a：取出的一件是次品。
bi：任取的一件产品恰出自第i条流水线，i=1，2，3，4。
显然。由题意，所以由全概率公式，有。
例2、（理留补充例）
设白球与红球各4只，从中任取4只放入甲盒，余下的放入乙盒，然后分别在两盒中各任取一球，求取出的两球颜色相同的概率。
解：设a ——从两盒中各取一球，颜色相同。
bi ——甲盒中有i只白球，i=0,1,2,3,4.
可知甲盒中4红球，乙盒中4白球时不可能从两盒中取出同色球；甲盒中4白球，乙盒中4红球时也不可能从两盒中取出同色球）
概率统计辅导讲义 1
概率论与数理统计考研辅导讲义。目录。第1讲随机事件和概率。第2讲随机变量及其分布。第3讲多维随机变量及其分布。第4讲随机变量的数字特征与中心极限定理。第5讲数理统计。第1讲随机事件和概率。1 随机现象及其统计规律性。在客观世界中存在着两类不同的现象 确定性现象和随机现象 在一组不变的条件s下，某种结...
考研数学基础班概率统计讲义
一 基本概念。1 随机试验 具备如下三个条件的试验 1 相同条件下可重复。2 试验的可能结果是多样的且是确定的。3 某次试验之前不确定具体发生的结果，这样的试验称为随机试验，记为 e 2 样本空间 随机试验的所有可能的基本结果所组成的集合，称为随机试验的样本空间。3 随机事件 样本空间的子集称为随机...
2023年考研数学《概率统计》讲义汇总
读书是品位。正所谓 活到老，学到老，还有三分未学到 虽然提高自身能力的途径千差万别，但归究起来还是书本知识对人的益处最大，最重要的就是 学以致用 选择与自己相伴的都应是最好的，不论是人还是书 生活在社会面貌日新月异 科技突飞猛进 经济蒸蒸日上的当今社会里，为了生存，咱们每个人都强打起精神投入到激烈地...