专题18 概率、统计。
★★高考在考什么。
考题回放】1．甲：a1、a2是互斥事件；乙：a1、a2是对立事件，那么甲是乙的( b )
a．甲是乙的充分但不必要条件 b．甲是乙的必要但不充分条件。
c．甲是乙的充要条件 d．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。
2．在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ c ）
abc． d．
3．某班有50名学生，其中 15人选修a课程，另外35人选修b课程．从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的慨率是．(结果用分数表示)
4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是．
5．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x－y｜的值为 （ d ）
a）1 （b）2 （c）3 （d）4
6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。
1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列．
专家解答】（ⅰ记“射手射击1次，击中目标”为事件，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率。
ⅱ）射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率。
ⅲ）由题设，“”的概率为（且）
所以，的分布列为：
★★高考要考什么。
考点透视】等可能性的事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差．
热点透析】1．相互独立事件同时发生的概率，其关键是利用排列组合的内容求解m，n．
2．独立重复试验，其关键是明确概念，用好公式，注意正难则反的思想．
3．离散型随机变量的分布列、期望和方差，注意取值的完整性以及每一取值的。
实际含义．★★突破重难点。
范例1】某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第。
一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．解(1)
所以的分布列为。
的数学期望e()=
2) p()=
点晴】本题以古典概率为背景，其关键是利用排列组合的方法求出m，n，主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率。
变式】袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（1）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
2)随机变量的概率分布和数学期望；
3)计分介于20分到40分之间的概率．
解：（）解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为，则。
解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为a”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为，则事件和事件是互斥事件，因为，所以．
）由题意有可能的取值为：2，3，4，5．
所以随机变量的概率分布为。
因此的数学期望为。
ⅲ）“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为，则。
范例2】某运动员射击一次所得环数的分布如下：
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为．
)求p；)求该运动员两次都命中7环的概率。
ⅲ)求的分布列。
解：(ⅰp=1-0．3-0．3-0．2=0．2
ⅱ)求该运动员两次都命中7环的概率为；
ⅲ)的可能取值为
分布列为。点晴】本题已知分布列逆求其他事件的概率和分布列，注意利用分布列的性质用于验证答案或求最后一个事件的概率，例如。
变式】甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．两甲，乙两袋中各任取2个球．
ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n．
解：（）记“取到的4个球全是红球”为事件．
）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件．由题意，得。
所以，化简，得解得，或（舍去），故 ．
点晴】本题属于古典概率，已知概率的结果，利用方程的思想逆求出n是该题的关键。
范例3】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是， ,
ⅰ)现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望eξ．
解： (记"甲投篮1次投进"为事件a1 ， 乙投篮1次投进"为事件a2 ， 丙投篮1次投进"为事件a3，"3人都没有投进"为事件a ．则p(a1)=，p(a2)=，p(a3)=，p(a) =p(．．p()·p()·p()
1－p(a1)] 1－p (a2)] 1－p (a3)]=1－)(1－)(1－)=
3人都没有投进的概率为．
ⅱ)解法一： 随机变量ξ的可能值有0，1，2，3， ξb(3，)，
p(ξ=k)=c3k()k()3－k (k=0，1，2，3) ，eξ=np = 3×=
解法二： ξ的概率分布为：
eξ=0×+1×+2×+3×=
点晴】已知概率求概率，主要运用加法公式（互斥）和乘法公式（独立）以及n次独立重复试验（二项分布），注意条件和适用的范围，另外利用二项分布期望和方差结论使问题简洁明了。
变式】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0．5,整改后安检合格的概率是0．8,计算(结果精确到0．01):
ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率；
ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改；
ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率．
解：（ⅰ每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是．
ⅱ）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布b(5,0．5)．从而的数学期望是 e＝，即平均有2．50家煤矿必须整改．
ⅲ)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是。
点晴】注意n次独立重复试验的条件、公式的记忆以及二项分布的期望结论，另外至多、至少等概率问题常使用正难则反的思想运用。
范例4】某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；
ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
解：设三门考试课程考试通过的事件分别为a，b，c，相应的概率为a，b，c
1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为ab＋ac＋bc＋abc，设其概率为p1，则p1＝ab（1－c）＋a（1－b）c＋（1－a）bc＋abc＝ab＋ac＋bc－2abc
设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为p2，则p2＝ab＋ac＋bc
2）p1－p2＝（ab＋ac＋bc－2abc）－（ab＋ac＋bc）＝ab＋ac＋bc－2abc
（ab＋ac＋bc－3abc）＝[ab (1-c)＋ac(1－b)＋bc(1－a)] 0
p1p2即用方案一的概率大于用方案二的概率．
点晴】本题作为含有字母的概率问题，增加了一定的难度，问题（ⅱ）又运用了不等式作差的方法比较两期望的大小。
变式】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1．2万元、1．18万元、1．17万元的概率分别为、、;已知乙项目的利润与产品**的调整有关，在每次调整中**下降的概率都是，设乙项目产品**在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品**在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取时， 一年后相应利润是1．3万元、1．25万元、0．2万元．随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．
) 求、的概率分布和数学期望、;
) 当时，求的取值范围．
解析】()解法1:的概率分布为。
e=1．2+1．18+1．17=1．18．
由题设得，则的概率分布为。
故的概率分布为。
所以的数学期望为。
e=++解法2:的概率分布为。
e=1．2+1．18+1．17=1．18．
设表示事件”第i次调整，**下降”(i=1,2),则。
p(=0)=;
p(=1)=;
p(=2)=
故的概率分布为。
所以的数学期望为。
e=++) 由，得：
因0【点晴】本小题考查二项分布、分布列、数学期望以及与不等式等其他知识的综合应用，考查了运用概率知识解决实际问题的能力．
★★自我提升。
1．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ a ）．
2019届高考数学概率统计实验复习
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