1．设计“小、巧、活”的概率试题。
1.甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空。
比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为且各局胜负相互独立．则打满3局比赛还未停止的概率为___
解析：设分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．
由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为。
点评：本题求解时，要理解“打满3局比赛还未停止”是什么意思？如何来安排每一局的结果将是求解的重点．显然，对每一局结果安排，若有一个不合理．产生错误是必然的．
2．设计精美的排列、组合或二项式定理试题。
22.若展开式中的系数为11，当的系数最小时，展开式中奇数次幂的系数之和为___
解析：(1)由题意，得，即。
由于的系数为：
因为，，得时，的系数最小．
此时。令，及得。
两式相减相加，得。
点评：本题考查二项式定理，将通项公式、二项式展开及系数和等尽收囊中．特别指出，在二次函数求最值时，并非常规，要注意到，否则，就会出错或求不出结果．
3．设计新颖的统计案例试题。
3某同学建立在如下数据的基础上。
研究两变量与之间的关系．并借助研究结果对时，的值进行**．他发现样本点分布在的附近，那么，他的**结果为___注：)
解析：令将所给数据转化为下列数表：
于是，得。又由即，得，当时，得。
点评：本题是非线性回归问题．求解中首先注意到数据转化，然后再结合最小二乘法求解回归系数系数，虽然，看上去与线性回归没有太大的区别，但就其观念与所考的知识点却有很大差异．
4．即兴设计图案．考查均值的应用试题。
4.某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动．活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次。
并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置．若指针停在a区域返券60元；停在b区域返券30元；停在c区域不返券．例如：消费218元，可转动转盘2次．所获得的返券金额是两次金额之和．
(1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率：
(2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为x元．求随机变量x的分布列和数学期望．
解析：设指针落在a，b,c区域分别记为事件a，b,c，则。
1)若返券金额不低于30元，则指针落在a或b区域。
即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是。
2)由题意得，该顾客可转动转盘2次．
随机变量x的可能值为0，30，60，90，120．
所以，随机变量x的分布列为：
其数学期望：
点评：本题建立在转动圆盘图案的基础上开展。通过几何概型产生概率问题．在本题的概率计算过程中．互斥事件的概率与独立事件的概率都得到了充分的应用．
5．结合数表设计统计及概率的应用试题。
5.为发布消费物价指数cpi (是根据与居民生活有关的产品及劳务**统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标)，某省城市社会经济调查队对某种商品的周销售量(单位：千个)进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：
1)根据上面统计结果，求周销售量分别为2千个，3千个和4千个的频率：
2)已知每千个该种商品的销售利润为2千元，表示该种商品两周销售利润的和(单位：千元)．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求的分布列和数学期望．
解析：(1)周销售量为2千个，3千个和4千个的频率分别为0.2，0.5和0.3．
2)的可能值为8，10，12，14，16，且。
的分布列为：
千元．点评：本题建立在频率分布表的基础上进行设计。难度与2024年理科试题的难度一致．求解时，只要我们能对频率分布表中的信息准确提取，再合理应用就能产生正确结论．
6．将统计与独立性检验联合设计试题。
6.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量值落在(495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图是甲流水线样本的频率分布直方图，表是乙流水线样本频数分布表。
(ⅰ)若以频率作为概率，从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数x的数学期望．
(ⅱ)从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数y的分布列．
(ⅲ)由以上统计数据完成下面2x2列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．
附：下面的临界值表供参考：
参考公式：,其中)
解析：(ⅰ由图1知，甲样本中合格品数为。
故合格品的频率为。
据此可估计从甲流水线上任取一件产品为合格口的概率为。
那么。(ⅱ)由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件，则y的取值为0，1，2．且。
y的分布列为：
ⅲ)2×2列联表如下：
∴有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．
点评：本题的设计很有特点．第一问考查二项分布；第二问考查起几何分布；第三问考查独立性检验．将这三个重要的知识点巧妙的融合在一起．难度并不大。适合广东高考．值得我们关注．
7．结合创新思维。设计新型概率、统计试题。
7:某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为在射击比武活动中每人射击两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”．
1)若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
(2)计划在2024年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数为．如果，求的取值范围．
解析：(1)设该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”为事件a，则。
2)该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率。
由题意可知：12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数服从二项分布。
于是，即，由，知。
点评：本题很“精干”。第一问考查相互独立事件的概率，第二问建立在第一问思路的基础上．考查二项分布及不等式的求解，即基础又具灵活性，确实是一道好题．
8．结合数学的其它知识，设计概率、统计的综合性试题。
8.已知集合集合，集合，1)求从集合m中任取一个元素是(3，5)的概率：
2)从集合m中任取一个元素，求的概率：
3)设为随机变量且是4的倍数，写出的分布列，并求，解析：由，即。
又，即。1)设从m中任取一个元素是(3，5)的事件为b,则。
所以从m中任取一个元素是(3，5)的概率为。
2)设从m中任取一个元素的事件为c，有(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6),则。
所以从m中任取一个元素的概率为。
3)可能取的值为4，8，12，对应的基本事件分别为(1，3)，(2，2)，(3，1)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，共9个，此时，于是的分布列为。
由此得。点评：本题将不等式的求解、古典概型结合在一起进行设计，在第三问中耍了一个小小的花招，引入随机变量，并规定了满足两个条件，也许在此处会有考生上当．
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