概率论与数理统计考研辅导讲义。
目录。第1讲随机事件和概率。
第2讲随机变量及其分布。
第3讲多维随机变量及其分布。
第4讲随机变量的数字特征与中心极限定理。
第5讲数理统计。
第1讲随机事件和概率。
1．随机现象及其统计规律性。
在客观世界中存在着两类不同的现象：确定性现象和随机现象．
在一组不变的条件s下，某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象．这类现象的一个共同点是：事先可以断定其结果．
在一组不变的条件s下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象．这类现象的一个共同点是：事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种．
一般来说，随机现象具有两重性：表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性．随机现象的偶然性又称为它的随机性．在一次实验或观察中，结果的不确定性就是随机现象随机性的一面；在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面，称随机现象的必然性为统计规律性．
2．随机试验与随机事件。
为了叙述方便，我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验．如果这个试验满足下面的三个条件：(1)在相同的条件下，试验可以重复地进行．(2)试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果．
3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果．那么我们就称它是一个随机试验，以后简称为试验．一般用字母e表示．
在随机试验中，每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点，用ω表示；而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间，记为ω．
随机事件：是样本空间ω的一个子集，随机事件简称为事件，用字母a，b，c等表示．因此，某个事件a发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生，记为ω∈a．
3 事件之间的关系与运算。
事件之间的关系有：“包含”、“等价(或相等)”、互不相容(或互斥)”以及“独立”四种．
事件之间的基本运算有：“并”、“交”以及“逆”．
事件的包含关系与等价关系：设a，b为两个事件．如果a中的每一个样本点都属于b，那么称事件b包含事件a，或称事件a包含于事件b，记为ab或ba．如果ab与ba同时成立，那么称事件a与事件b等价或相等，记为a＝b．
事件的并与交：设a，b为两个事件．我们把至少属于a或b中一个的所有样本点构成的集合称为事件a与b的并或和，记为a∪b或a＋b．
事件的互不相容关系与事件的逆：设a，b为两个事件，如果a·b＝，那么称事件a与b是互不相容的(或互斥的)．
对于事件a，我们把不包含在a中的所有样本点构成的集合称为事件a的逆(或a的对立事件)，记为我们规定它是事件的基本运算之一．
在一次试验中，事件a与不会同时发生(即a·＝，称它们具有互斥性)，而且a与至少有一个发生(即a＋＝ω称它们具有完全性)．这就是说，事件a与满足：
根据事件的基本运算定义，这里给出事件之间运算的几个重要规律：
1) (交换律。
2) (结合律。
3) (分配律)(b＋c)＝ab＋aca＋bc＝(a＋b)(a＋c)．
4) (德·摩根律。
事件为事件a与b的差，记为a－b．可见，事件a－b是由包含于a而不包含于b的所有样本点构成的集合．
例1】设，是任意二事件，完成运算：
例2】从一批产品中任取3个，观察其中的合格数，记=， 试用来表示，，，
4．概率的公理化定义：设e是一个随机试验，ω为它的样本空间，以e中所有的随机事件组成的集合为定义域，定义一个函数p(a)(其中a为任一随机事件)，且p(a)满足以下三条公理，则称函数p(a)为事件a的概率．
公理1(非负性) 0≤p(a)≤1．
公理2(规范性) p(ω)1．
公理3(可列可加性) 若a1，a2，…，an，…两两互斥，则。
由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质．
性质1(有限可加性) 设a1，a2，…，an两两互斥，则。
性质2(加法公式) 设a，b为任意两个随机事件，则p(a＋b)＝p(a)＋p(b)－p(ab)．
性质3 设a为任意随机事件，则p()＝1－p(a)．
性质4 设a，b为两个任意的随机事件，若ab，则p(b－a)＝p(b)－p(a)．
由于p(b－a)≥0，根据性质4可以推得，当ab时，p(a)≤p(b)．
请注意以下常见结论：，；
例3】，是两随机事件，，，则。
例4】，是两随机事件，，，则 。
例5】，是两随机事件，，，则 。
例6】，是两随机事件，当，发生时事件发生，则以下正确的是（ ）
ab）、cd）、
例7】，，是三随机事件，已知，且，，至少有两个发生的概率为，，，同时发生的概率为，则，，都不发生的概率为（ ）
abcd）、
6．概率的统计定义：在一组不变的条件s下，独立地重复做n次试验．设μ是n次试验中事件a发生的次数，当试验次数n很大时，如果a的频率fn(a)稳定地在某一数值p附近摆动；而且一般说来随着试验次数的增多，这种摆动的幅度会越来越小，则称数值p为事件a在条件组s下发生的概率，记作。
问题 (1)试判断下式成立吗？为什么？(2)野生资源调查问题池塘中有鱼若干(不妨假设为x条)，先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号．用a表示事件，问下面两个数哪个是a的频率？
哪个是a的概率？为什么？
7．古典概型：古典型试验：(ⅰ结果为有限个；(ⅱ每个结果出现的可能性是相同的．
定义设古典概型随机试验的基本事件空间由n个基本事件组成，即ω＝．如果事件a是由上述n个事件中的m个组成，则称事件a发生的概率为。
8．几何概型：几何型试验：(ⅰ结果为无限不可数；(ⅱ每个结果出现的可能性是均匀的．
定义设e为几何型的随机试验，其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述，而其中一部分区域可以表示事件a所包含的基本事件，则称事件a发生的概率为其中l(ω)与l(a)分别为ω与a的几何度量．
例7】一袋中有10件产品，其中3件次品，7件**，从中不放回地取3次，则“至少有两件次品的概率”为。
例8】从5双不同的鞋子中任取4只，则此4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率为。
例9】设有个人，每个人都等可能的被分配到个房间中的任意一间去住，求（1）、指定的个房间各有一个人住的概率为2）、恰有个房间各有一个人住的概率为。
例10】从中任取两个数和，则满足条件的的概率为。
例11】从长度为的线段内任取两个点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率为。
9．条件概率。
前面我们所讨论的事件b的概率ps(b)，都是指在一组不变条件s下事件b发生的概率(但是为了叙述简练，一般不再提及条件组s，而把ps(b)简记为p(b))．在实际问题中，除了考虑概率ps(b)外，有时还需要考虑“在事件a已发生”这一附加条件下，事件b发生的概率．与前者相区别，称后者为条件概率，记作p(b|a)，读作在a发生的条件下事件b的概率．
在一般情况下，如果a，b是条件s下的两个随机事件，且p(a)≠0，则在a发生的前提下b发生的概率(即条件概率)为，并且满足下面三个性质：
1)(非负性)p(b|a)≥0； (2)(规范性)p(ω|a)＝1； (3)(可列可加性)如果事件b1，b2，…互不相容，那么。
条件概率仍具有概率的其他性质：①、
10．概率的乘法公式：在条件概率公式(1－3)的两边同乘p(a)，即得p(ab)＝p(a)p(b|a)．
例12】一袋中有5件产品，其中2件次品，3件**，从中不放回地取2次，设=， 则。
例13】，是两随机事件，，且，，则。
例14】，，是三个随机事件，其中，且已知，则以下正确的是（ ）
a）、 b）、
cd）、例15】，，是三个随机事件，设以下条件概率均有意义，则以下不正确的是（ ）
a）、 b）、
c）、d）、
例16】为了防止意外，在矿内同时有两个报警系统，。每个报警系统单独使用时，其有效的概率是为0.92，为0.93。在失灵的情况下，有效的概率为0.85。求：
1）、发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率？（2）、失灵的情况下，有效的概率。
11 全概率公式：如果事件组a1，a2，…，an满足。
1)且p(ai)＞0(i＝1，2，…，n)．(2)aiaj＝(i≠j；i，j＝1，2，…，n)，则对任一事件b，有上式称之为全概率公式．
12．贝叶斯公式：设a1，a2，…，an是某一随机试验的一个完备事件组，对任意事件b(p(b)＞0)，在事件b已发生的条件下事件ai发生的概率为上式称之为贝叶斯公式(或逆概率公式)．
利用全概率公式和贝叶斯公式计算概率的关键是找满足全概率公式中条件的事件组，即完备事件组a1，a2，…，an．要掌握以下两点：
1)事件b必须伴随着n个互不相容事件a1，a2，…，an之一发生，b的概率就可用全概率公式计算．
概率统计讲义提纲
第一章。一 排列组合。3.组合 注 0 1.二 随机事件及其概率。1 概率论是研究随机现象规律性的一门数学学科。2 随机现象是通过随机试验来研究的。3 样本空间 样本点。4 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件。5 事件之间的关系及运算律。含义 a发生，则b一定发生。含义 a,b至少一个发生，o...
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一 50分 1 设a b为两个事件，若a b互不相容，则。若a b有包含关系，则。2 学生甲和朋友约定 在三门完全不同的课程考试中，他只要有一门考试取得95分以上就开香槟庆祝。若甲在这三门课程考试中得95分以上的概率分别为则它们开香槟庆祝的概率为。3 一只袋中装有5只白球和4只黑球，先不放回地随机取...
概率统计冲刺辅导 2023年
概率统计冲刺辅导。一 基本问题。1 随机事件。1 随机试验 2 事件的基本概念 定义 样本空间 样本点 基本事件 不可能事件 必然事件 3 事件的运算 关系 运算律 4 事件的概率及性质 5 事件的独立性。2 概率计算法。1 直接计算法 古典概率 几何概率 2 概率性质计算法 3 三大公式计算法 4...